树上倍增

提到树上倍增就不得不先说说最近公共祖先(LCA)了

如下图所示

④和⑤的LCA即为②(绿色的)

那怎么求LCA呢？

最简单粗暴的方法就是先深搜一次，处理出每个点的深度

然后把深度更深的那一个点④一个点地一个点地往上跳，直到到某个点③和另外那个点⑤的深度一样

然后两个点一起一个点地一个点地往上跳，直到到某个点(就是LCA)时两个点重合

不过大家应该发现一个点地一个点地跳时间复杂度会很高    

如果一下子跳到目标点内存又不支持

所以神犇们找到了一种新的算法--树上倍增

时间复杂度为O(n*logn)

树上倍增思路

先比较两个点的深度，如果深度不同，先让深的点往上跳，浅的先不动，等两个点深度一样时，如果是同一点直接返回，如果是不同点进行下一步：如果不同，两个点一起跳，j从大到小枚举(j不用太大)，如果两个点都跳这么多后，得到的点相等，两个点都不动（因为有可能正好是LCA也有可能在LCA上方），直到得到的点不同，就可以跳上来，然后不断跳，因此两个点都在LCA下面那层，所以再跳1步即可到达LCA

整体思路图

状态转移方程

f[i][j]表示节点i往上跳2^j次后的节点 
可以转移为 
f[i][j] = f[f[i][j-1]][j-1]

(此处注意循环时先循环j，再循环i)

至于为啥自行理解

此处是核心代码

int lca(int x,int y){
    if(dep[x] < dep[y]) swap(x,y);//保证x比y深
    for(int i = 20;i >= 0;i--)
        if(dep[x] - (1<<i) >= dep[y]) x = fa[x][i];//深的先跳
             //1<<i表示把1向左移i位，类似于2的累乘器
    if(x == y) return x;
      //若深的跳完刚好与浅的那个重合，则直接输出
    for(int i = 20;i >= 0;i--)
        if(fa[x][i] != fa[y][i])
    {
            x = fa[x][i];
            y = fa[y][i];
        }
    return fa[x][0];//0 是再跳一步
}

树上倍增还可以有很多变化，这使得它可以有更多的变化。

可以用来维护各结点的各个数据

比如用l[i][j]记录i到他的第2^j个父亲的路径长度，就可以边求LCA边求出两点距离，因为l[i][j]满足倍增的递推式：

l[i][j] = l[i][j-1] + l[fa[i][j-1]][j-1]

或者用maxlen[i][j]记录i到第2^j个父亲的路径上最长边的边权，它满足

maxlen[i][j] = max{maxlen[i][j-1], maxlen[fa[i][j-1]][j-1]}，这样就可以快速求出两点路径上最长边的边

例题！！！

洛谷P3379 【模板】最近公共祖先（LCA）

https://www.luogu.org/problem/show?pid=3379

POJ 1986 Distance Queries

http://poj.org/problem?id=1986

HDU 3078 Network

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=3078

HDU 2586 How far away ？

http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2586