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  • 数学算法那些事

      数学算法那些事

    1. 三种方法求最大公约数

    1、连续整数检测法. 

    此算法比较简单:

    [php] view plain copy
     
     print?
    1. /** 
    2.  * greatest common divisor 
    3.  *  
    4.  * @param int $a 
    5.  * @param int $b 
    6.  */  
    7. function gcd($a, $b){   
    8.     $t = $a> $b ?$b :$a;  
    9.     while ($t>0){  
    10.         if($a%$t==0 && $b%$t ==0) break;  
    11.         --$t;  
    12.     }  
    13.     return $t;  
    14. }  

    时间复杂度:最坏情况他们的最大公约数是1,循环做了t-1次,最好情况是只做了1次,可以得出O(n)=n/2;

     

    2、欧几里德算法

    欧几里德算法又称辗转相除法, 用于计算两个整数a, b的最大公约数。其计算原理依赖于下面的定理:
    定理: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
    证明:
         a可以表示成a = kb + r, 则r = a mod b
         假设d是a, b的一个公约数, 则有  d|a, d|b, 而r = a - kb, 因此d|r。
         因此,d是(b, a mod b)的公约数。
         加上d是(b,a mod b)的公约数,则d|b, d|r, 但是a = kb + r,因此d也是(a, b)的公约数。
         因此,(a, b) 和(a, a mod b)的公约数是一样的,其最大公约数也必然相等,得证。

    [php] view plain copy
     
     print?
    1. /**   
    2.  * greatest common divisor   
    3.  * gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)   
    4.  * @param int $a   
    5.  * @param int $b   
    6.  */    
    7. function gcd($a, $b){     
    8.     $t = $a%$b;    
    9.     return $t > 0 ? gcd($b, $t): $b;    
    10. }    

    欧几里德的时间复杂度O(n)= log n

    3、Stein 算法

    欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,无论是理论,还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在很大的素数时才会显现出来。
    考虑现在的硬件平台,一般整数最多也就是64位, 对于这样的整数,计算两个数值就的模很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
    Stein算法由J.Stein 1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
    为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
      gcd(a, a) = a, 也就是一个数和他自己的公约数是其自身。
      gcd(ka, kb) = k * gcd(a, b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数比如能被2整除。
    Stein算法的实现如下:

    [php] view plain copy
     
     print?
    1. function gcd($a, $b){   
    2.     if ($a == 0) return $b;  
    3.     if ($b == 0)  return $a;  
    4.     if ($a % 2 == 0 && $b % 2 == 0)return 2 * gcd($a/2,$b/2);  
    5.     else if ($a % 2 == 0)  return gcd($a/2,$b);  
    6.     else if ($b % 2 == 0)  return gcd($a,$b/2);  
    7.     else  return gcd(($a + $b) / 2, ($a - $b) / 2);  
    8.       
    9. }  

    2. 排列组合

    从n中选m个数(0<m<=n) 问题可分解为:

    1. 首先从n个数中选取编号最大的数,然后在剩下的n-1个数里面选取m-1个数,直到从n-(m-1)个数中选取1个数为止。
    2. 从n个数中选取编号次小的一个数,继续执行1步,直到当前可选编号最大的数为m。
    很明显,上述方法是一个递归的过程,也就是说用递归的方法可以很干净利索地求得所有组合。

       求从数组a[1..n]中任选m个元素的所有组合。
       a[1..n]表示候选集,n为候选集大小,n>=m>0。
       b[1..M]用来存储当前组合中的元素(这里存储的是元素下标),
       常量M表示满足条件的一个组合中元素的个数,M=m,这两个参数仅用来输出结果。

    [cpp] view plain copy
     
     print?
    1. #include "stdafx.h"   
    2. void combine( int a[], int n, int m,  int b[], const int M ) {  
    3.    
    4.   for(int i=n; i>=m; i--) {  // 注意这里的循环范围  
    5.     b[m-1] = i - 1;  
    6.     if (m > 1) {  
    7.       combine(a,i-1,m-1,b,M);  
    8.     } else  {                   // m == 1, 输出一个组合  
    9.       for(int j=M-1; j>=0; j--)  
    10.       cout << a[b[j]] << " ";  
    11.       cout << endl;  
    12.     }  
    13.   }  
    14. }  
    15. int main(){     
    16.     int a[] = {1,2,3,4,5};  
    17.     int b[3];  
    18.     combine(a,  5, 3,  b, 3 );  
    19. }  

    3. 判断素数

    给定一个正整数n,用2到sqrt(n)之间的所有整数去除n,如果可以整除,则n不是素数,如果不可以整除,则n就是素数。这个算法的时间复杂度十分明了,时间复杂度是o(sqrt(n))。

    算法实现:

    [cpp] view plain copy
     
     print?
    1. # include <math.h>  
    2. int isPrime(int n)  
    3. {  
    4.     int i ;  
    5.     for(i=2; i <= (int)sqrt((float)n); i++){  
    6.         if(n%i == 0 )break ;  
    7.     }  
    8.     if(i <= (int)sqrt((float)n))  
    9.         printf("%d is not a prime ! ", &n) ;  
    10.     else  
    11.         printf("%d is a prime ! ", &n) ;  
    12.     return 0 ;  
    13. }  
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