整除的一个计算

第一个模型，先简化问题，求20以内被7整除的数。
一个自然序列中的数能被7整除，说明以7为周期，序列中有多少个这样的周期就说明有多少个数能被7整除，得到20/7=2。
第二个模型，扩展模型一，假如一个自然序列中的数能被3和7整除，就以3*7=21为周期，序列有多少个这样的周期就说有多少个数被3和7整除，例如：1～100内，能被3和7整除，得到：100/21=4*21+16，这四个数依次为：21，42，63，84，也就是取它们的最小公倍数。


观察规律，第一行，以2，4，1三个数为周期，第二行，以1，4，2，2，4，1，0七个数为周期，根据模型，这两组余数以21为周期，再观察1～21以内有几个余数相同，得到：

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1	2	4	1
1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0	1	4	2	2	4	1	0

在2，4，5，6，10，15位置处，余数相同，一共6个，最后结果得到：

补充：

从余数的周期来看，没有两个余数相加等于0或等于7，所以等式不成立！
补充：

aⁿ mod 7的周期列表（其中1<=a<=7)

习题一：在1000内的自然数中，取有序对<x,y>，使得x²+y²能被7整除，（允许重复），有多少对？
解：根据平方的余数周期，能整除7的只有一个，（也即是7的倍数），1000/7=142，有142个数的平方能被7整除。

也可根据允许重复的排列计数方式：从n个元素中取k个，允许重复，一共有n^k种可能。
习题二：来源《一百个数学问题》