【数字图像处理】直方图均衡化

直方图

像这样形状的数据统计图就叫做直方图。

不严谨的来说，簇状柱状图也可以看成直方图，我们之后不进行区别。

灰度直方图

横轴为灰度值，纵轴为灰度值在图中的频数。
e.g. 如下图

设灰度级为2，最大灰度值为1
n(0)=13
n(1)=7

归一化

即令纵轴为频率，横轴上将最大灰度值映射到1.

均衡化

目的：让各个灰度值的频率大致相同（除了0），也就是所谓的分布均匀。


这个过程，我们需要求出变换后各个灰度值所对应的新频数。
方法：把灰度相近的值放到一起，让矮的“长条”变高。

虽然有一些灰度值被我们丢弃了，但是留下的灰度值看起来更平坦了。需要注意的是，我们的转移不应该改变灰度的顺序，原来的灰度值为0的“长条”不可以越过灰度值为1的长条到灰度值为2的上面去。

理想情况：我们能把直方图完全平坦化，也就是变换后的各灰度值频率完全一致。

归一化后，根据(int^1_0p(r)=1)可得(p(r)=1)。
设变换前的灰度r转移到灰度为s的“长条”上了。

我们设这个变换为(s=T(r))，显然，只要找到这个变换的具体表达式，我们就能实现均衡化了。
(0≤r,s≤1)
分布函数：(F_s(s)=∫_{-∞}^sp_s(s)ds)
我们认为理想情况下，分布函数在改变前后不变：(F_r(r) =∫_{-∞}^rp_r (r)dr=∫_{-∞}^sp_s(s)ds)
两边对s求导得：(p_s(s)=frac{d[int^r_{-infty}p_r(r)dr]}{dr}cdotfrac{dr}{ds}=p_rfrac{dr}{ds})
假设：(r=T^{-1}(s) p_s(s)=p_rfrac{d}{ds}ig(T^{-1}(s)ig))
将(p_s(s)=1)代入得：(ds=p_rdr)
两边积分：(s=int_0^rp_rdr=T(r)=sum_0^rp_i)
这样我们就求出了(T(r))。

例子

64*64的图片，灰度级为8。

	r0	r1	r2	r3	r4	r5	r6	r7
n	790	1023	850	656	329	245	122	81
p	0.19	0.25	0.21	0.16	0.08	0.06	0.03	0.02

求出ri变换后对应的归一化灰度值（用上面求出的(s=int_0^rp_rdr=T(r)=sum_0^rp_i)）。

s

0.19

0.44

0.65

0.81

0.89

0.95

0.98

1.00

归一化的逆过程，求出实际的灰度值。

Ts

1.33

3.08

4.55

5.67

6.23

6.65

6.86

7.00

四舍五入求整⌊7s+0.5⌋。

si

1

3

5

6

6

7

7

7

把灰度值相同的频数与频率各自相加。

	790	1023	850	985		448
	0.19	0.25	0.21	0.24		0.11
si	s0	s1	s2	s3	s4	s5	s6	s7
n	0	790	0	1023	0	850	985	448
p	0	0.19	0	0.25	0	0.21	0.24	0.11

可以看出来，虽然不是完全理想，但是比变换前，直方图更平坦了。