二项式系数

二项式系数

说明：一般情况下(0^0 = 1)

二项式定理

对所有的非负整数(k)和(n)定义的二项式系数(inom{n}{k})，
如果(k > n)，则(inom{n}{k} = 0)，
对所有的(n)，(inom{n}{0} = 1)，
如果(n)是是一个正整数，且(1 le k le n)，则(inom{n}{k} = frac{n!}{k! (n - k)!} = frac{n (n - 1) cdots (n - k + 1)}{k (k - 1) cdots 1})

有以下一些性质成立

[inom{n}{k} = inom{n}{n - k} ag{1} ]

显然

Pascal公式

[inom{n}{k} = inom{n - 1}{k} + inom{n - 1}{k - 1} ag{2} ]

根据定义或组合意义可证。

[inom{n}{0} + inom{n}{1} + cdots + inom{n}{n} = 2^n (n ge 0) ag{3} ]

可用有关二进制的组合意义理解。

二项式定理
若(n)是正整数，对于所有的(x, y)有$$(x + y)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^{n - k} y^k ag{4}$$
数学归纳即可

特殊情况
当(x = y = 1)，即可推出((3))

当(y = 1)，有$$(x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{n - k} x^k ag{5}$$

当(x = 1, y = -1)，推出

[sumlimits_{k = 0}^n (-1)^k inom{n}{k} = inom{n}{0} - inom{n}{1} + inom{n}{2} - cdots + (-1)^n inom{n}{n} = 0 (n ge 1) ag{6} ]

结合((3))即可得$$inom{n}{0} + inom{n}{2} + cdots = inom{n}{1} + inom{n}{3} + cdots = 2^{n - 1} (n ge 1) ag{7}$$

[k inom{n}{k} = n inom{n - 1}{k - 1} (n,k都是正整数) ag{8} ]

根据定义可证

[sumlimits_{k = 1}^n kinom{n}{k} = n 2^{n - 1} (n ge 1) ag{9} ]

证明一：
令(s = 0 inom{n}{0} + inom{n}{1} + 2 inom{n}{2} + cdots + n inom{n}{n})，
将所有项反转，得(s = n inom{n}{n} + cdots + 2 inom{n}{2} + inom{n}{1} + 0 inom{n}{0})，
由((1))，两式相加得(2s = n sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} = n 2^n)，所以(s = n 2^{n - 1})

证明二：
根据((8))和((3))可得(sumlimits_{k = 0}^n kinom{n}{k} = sumlimits_{k = 1}^n ninom{n - 1}{k - 1} = n sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k} = n 2^{n - 1})

证明三：
对((x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k (5))两边关于(x)求导，可得(n (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^{k - 1})
代入(x = 1)即可

[sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} = n (n + 1) 2^{n - 2} ag{10} ]

证明一：
由((8))和((9))，(sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} = n sumlimits_{k = 1}^n k inom{n - 1}{k - 1} = n (sumlimits_{k = 1}^{n - 1} k inom{n - 1}{k} + sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n - 1}{k}) = n (n + 1) 2^{n - 2})

证明二：
对((x + 1)^n = sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k (5))两边关于(x)求导，可得(n (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^{k - 1})
两边同乘(x)得(n x (x + 1)^{n - 1} = sumlimits_{k = 1}^n k inom{n}{k} x^k)
两边关于(x)求导，可得(n [(x + 1)^{n - 1} + (n - 1) x (x + 1) ^ {n - 2}] = sumlimits_{k = 1}^n k^2 inom{n}{k} x^{k - 1})
代入(x = 1)即可

由此可见，我们可以通过上次操作，不断关于(x)求导，再乘(x)，可以得到(sumlimits_{k = 1}^n k^p inom{n}{k})相对于任何正整数(p)的恒等式，但是随着(p)的增大，这将变得很复杂。

[sumlimits_{k = 0}^n frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1} ag{11} ]

由((8))可得(frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{inom{n + 1}{k + 1}}{n + 1})
(sumlimits_{k = 0}^n frac{inom{n}{k}}{k + 1} = frac{sumlimits_{k = 1}^{n + 1} inom{n + 1}{k}}{n + 1} = frac{2^{n + 1} - 1}{n + 1})

(sumlimits_{k = 0}^{n - 1} inom{n}{k} inom{n}{k + 1} = inom{2n}{n + 1})
((x + 1)^n (1 + x)^n = (x + 1)^{2n})
二项式定理((4))展开，得((sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k} x^k) (sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{n - k} x^k) = sumlimits_{k = 0}{2n} inom{2n}{k} x^k)
比较(x^{n + 1})前的系数，即可得(inom{2n}{n + 1} = sumlimits_{k = 1}^{n} inom{n}{k} inom{n}{k - 1})

范德蒙卷积公式
对于所有的正整数(m_1, m_2, n)，有$$sumlimits_{k = 0}^n inom{m_1}{n}inom{m_2}{n - k} = inom{m_1 + m_2}{n} ag{13}$$
((x + 1)^{m_1} (x + 1)^{m_2} = (x + 1)^{m_1 + m_2})
二项式定理((4))展开，得((sumlimits_{k = 0}^{m_1} inom{m_1}{k} x^k) (sumlimits_{k = 0}^{m_2} inom{m_2}{k} x^k) = sumlimits_{k = 0}^{m_1 + m_2} inom{m_1 + m_2}{k} x^k)
比较(x^n)前的系数，即可得(inom{m_1 + m_2}{n} = sumlimits_{k = 0}^{n} inom{m_1}{k} inom{m_2}{n - k})

[sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k}^2 = inom{2n}{n} (n ge 0) ag{14} ]

由((1))和((13))可得(sumlimits_{k = 0}^n inom{n}{k}^2 = sumlimits_{k = 0}^{n} inom{n}{k} inom{n}{n - k} = inom{2n}{n})

对于Pascal公式(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k} + inom{n - 1}{k - 1} (2))，我们不断把(inom{n - x}{k})的这一项展开，得
(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 1}{k})
(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 2}{k})
(inom{n}{k} = inom{n - 1}{k - 1} + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 3}{k - 1} + inom{n - 3}{k})
(vdots)
(inom{n}{k} = inom{0}{k} + inom{0}{k - 1} + inom{1}{k - 1} + cdots + inom{n - 2}{k - 1} + inom{n - 1}{k - 1})
由(inom{0}{k} = 0)，用(n + 1)取代(n)，用(k + 1)代取(k)，即可得

[sumlimits_{i = 0}^n inom{i}{k} = inom{n + 1}{k + 1} ag{15} ]

等式((15))对于所有非负整数(n)和(k)都成立。

这是一个二项式系数对相邻的一列展开，这可以拓展为对比它小的一列展开
二项式系数(inom{n}{k})对于第(m)列展开，得

[inom{n}{k} = sumlimits_{i = m}^{n - k + m} inom{n - i - 1}{k - m - 1} inom{i}{m} ag{16} ]

初始成立条件是公式((15))，对(m)归纳即可。

类似的，我们也可以对于第(m)行展开，得

[inom{n}{k} = sumlimits_{i = 0}^{n - m} inom{n - m}{i} inom{m}{k - i} ag{17} ]

显然。

扩展二项式系数的定义
(r)为实数，(k)为整数

[inom{r}{k} = left { egin{aligned} & frac{r (r - 1) cdots (r - k + 1)}{k!} & k ge 1 & \ & 1 & k = 0 & \ & 0 & k le -1 & end{aligned} ight . ]

Pascal公式((2))和公式((8))都还是成立的，
即$$inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1} 和 k inom{r}{k} = r inom{r - 1}{k - 1}$$
对于Pascal公式(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1})，我们不断展开变量最小的那一项，得
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 1}{k - 1})
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 2}{k - 2})
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 3}{k - 2} + inom{r - 3}{k - 3})
(vdots)
(inom{r}{k} = inom{r - 1}{k} + inom{r - 2}{k - 1} + inom{r - 3}{k - 2} + cdots + inom{r - k}{1} + inom{r - k - 1}{0} + inom{r - k - 1}{-1})
最后一项(inom{r - k - 1}{-1})为(0)，可以消去。用(r + k + 1)取代(r)，得

[sumlimits_{i = 0}^{k} inom{r + i}{i} = inom{r + k + 1}{k} ag{18} ]

等式((16))对于所有实数(r)和所有整数(k)都成立。

二项式系数的单峰性

留坑

多项式定理

多项式系数的定义为(inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} = frac{n!}{n_1! n_2! cdots n_t!})
其中，(n_1, n_2, cdots, n_t)是非负整数，且(n_1 + n_2 + cdots + n_t = n)

组合意义：有(t)种物品，第(i)个物品有(n_i)个，同一种物品完全一样，它的排列个数。

多项式系数的Pascal公式

[inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} = inom{n - 1}{n_1 - 1 n_2 cdots n_t} + inom{n - 1}{n_1 n_2 - 1 cdots n_t} + cdots + inom{n - 1}{n_1 n_2 cdots n_t - 1} ag{18} ]

根据定义即可证。

多项式定理
若(n)为正整数，对于所有的(x_1, x_2, cdots, x_t)，有

[(x_1 + x_2 + cdots + x_t)^n = sumlimits inom{n}{n_1 n_2 cdots n_t} x_1^{n_1}x_2^{n_2} cdots x_t^{n_t} ag{20} ]

根据组合意义即可证。

广义二项式定理

若(alpha)为实数，对于所有满足(0 le |x| < |y|的x和y)，有

[(x + y)^{alpha} = sumlimits_{k = 0}^{infty} inom{alpha}{k} x^{k} y^{alpha - k} ag{21} ]

证明留坑

参考资料

组合数学（原书第5版）