扩欧复习课

今天学习了拓展欧几里得，你不是会吗？
很多题解对我来说啃起来有难度，我在这里写一下自己的理解吧。
（所以下面每句话都是对我来说的）

(Part;1).

欧几里得算法。
一行了事，没大问题。

(Code):

int gcd(int a, int b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}

相关定理：

[gcd(a,b)=dfrac{ab}{lcm(a,b)} ]

挺有用的。

(Part;2).

裴蜀定理。
不定方程

[ax+by=c ]

有整数解的充分条件是：

[gcd(a,b)|c ]

很简单，设(a=k_1gcd(a,b),b=k_2gcd(a,b)),
左边(=(k_1x+k_2y)gcd(a,b)=)右边，存在解。
得证。
例题：P4549 【模板】裴蜀定理
裴蜀定理对多元不定方程仍成立。

(Part;3).

不定方程。
考虑有解的不定方程：

[ax+by=c ]

的一组解。
运用裴蜀定理，两边同时除以(gcd(a,b)),假设为：

[a'x+b'y=c' ]

同时除以(c')，得：

[a'dfrac{x}{c'}+b'dfrac{y}{c'}=1 ]

令(x'=dfrac{x}{c'},y'=b'dfrac{y}{c'}),方程化为：

[a'x'+b'y'=1 ]

可以跑扩欧了。
等一下，扩欧咋跑？

(Part;4).

拓展欧几里得。
求解方程：

[ax+by=1 ]

或是

[axequiv1pmod{b} ]

找个(y)值，使得(ax=by+1)，显然(ax-by=1),这里令(yleqslant0)，得：

[ax+by=1 ]

就是上式了。
显然(a,b)互质。
我们令(a_1=b,b_1=(a;mod;b)),得一新方程：

[a_1x_1+b_1y_1=1 ]

我们的任务就是找这两个方程的解了。
由取模定义：
(a;mod;b=a-bleftlfloordfrac{a}{b} ight floor),可得：

[bx_1+(a-bleftlfloordfrac{a}{b} ight floor)y_1=1=ax+by ]

整理一下可知：

[ay_1+b(x_1-y_1leftlfloordfrac{a}{b} ight floor)=ax+by ]

那么原方程的解为：

[x=y_1,y=x_1-y_1leftlfloordfrac{a}{b} ight floor ]

那么(x_1,y_1)怎么求呢？
发现可以递归，最后会出现：

[x=1,b_n=0,a_n=1 ]

如果是求逆元，记得处理负数。
下面放上板子题代码：

(Code)：

void exgcd(ll a,ll b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	ll t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}
int main()
{
	ll a,b;
	cin>>a>>b;
	exgcd(a,b);
	x=(x+b)%b;
	cout<<x;
	return 0;
}

(Part;5).

不定方程（进阶）。
上面说过一些，不过这里是找通解。
有个结论：

[egin{cases}x_t=x_0+b't\y_t=y_0-a'tend{cases} ]

证明很费解：
发现只需证(ax_t+by_t=1)即可。
若成立
左边=(a(x_0+b't)+b(y_0-a't)=ax_0+by_0+ab't+a'bt=1+dfrac{abt}{gcd(a,b)}-dfrac{abt}{gcd(a,b)}=1)=右边。
得证。

(Part;6).

关于(x,y)的最小（大）整数解。
对于(x)，就是个碾转相除嘛，求出的特解(x)一定是：

[x=x_{min}+b'k ]

对(b')取模即得(x_{min})，
其实是满足：

[b'y_{min}+a'x_{max}=c' ]

的。
那么解的数量：

[sum=dfrac{x_{max}-x_{min}}{b'}+1 ]

(加上两边)
这些同理于(y)。
就这些了。

(Code):

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
long long x,y;
long long gcd(long long a,long long b){return b==0?a:gcd(b,a%b);}
void exgcd(long long a,long long b)
{
	if(b==0)
	{
		x=1,y=0;
		return;
	}
	exgcd(b,a%b);
	long long t=x;
	x=y;
	y=t-a/b*y;
}
long long t,a,b,c,g,minx,miny,maxx,maxy,num;
int main()
{
	scanf("%lld",&t);
	while(t--)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&c);
		g=gcd(a,b);
		if(c%g)
		{
			printf("-1
");
			continue;
		}
		a/=g,b/=g,c/=g;
		exgcd(a,b);
		x*=c,y*=c;
		minx=(x%b+b)%b;
		if(!minx) minx+=b;
		miny=(y%a+a)%a;
		if(!miny) miny+=a;
		maxx=(c-(b*miny))/a;
		maxy=(c-(a*minx))/b;
		num=(maxx-minx)/b+1;
		if(num) printf("%lld %lld %lld %lld %lld
",num,minx,miny,maxx,maxy);
		else printf("%lld %lld
",minx,miny);
	}
	return 0;
}

乱用(long;long)。
有些地方还不够详细，以后慢慢补吧（第三次复习？）