ARC 106 D题解

竟然有蒟蒻会做的 ARC D，泪目。

题目简述：

对于每一个 (xleq k)，求：

[left(sum_{l=1}^{n-1}sum_{r=l+1}^n left(a_l+a_r ight)^x ight) mod 998244353 ]

[nleqslant 2 imes 10^5,kleqslant300 ]

[ ext{时间限制：3s}, ext{空间限制：1GB} ]

不保证没有其他神仙一万倍的算法。

这个，关于这种相加求幂的形式，我好像只会二项式定理。

[egin{aligned}sum_{l=i+1}^{n-1}sum_{r=l+1}^n left(a_l+a_r ight)^x&=sum_{l=1}^{n-1}sum_{r=l+1}^n sum_{i=0}^xdbinom{x}{i}a_l^ia_r^{x-i}cr&=sum_{i=0}^xdbinom{x}{i}sum_{l=1}^{n-1}a_l^isum_{r=l+1}^n a_r^{x-i}end{aligned} ]

对于我来说能想到变换求和顺序就很不错了，果真我后面就暂时性卡住了。

开始想到这些东西互相影响，好像变换求和顺序之后并没有什么好处。

那能不能让他不影响？

我直接玩后面哪两个求和，为了方便，先让指数都是 (1)。

那么这个东西是 (a_1a_2+a_1a_3+a_2a_3) 。

比较难做，但是，

我们知道这种形式是比较好做的：

[(a_1+a_2+a_3)(a_1+a_2+a_3) ]

其实他们差的只是 (a_i^2) 和另一个他自己。

考虑加上指数?进一步可以得到：

[sum_{l=1}^{n-1}a_l^isum_{r=l+1}^n a_r^{x-i}=sum_{l=1}^n a_l^isum_{r=1}^na_r^{x-i}-sum_{j=1}^n a_j^x-sum_{l=1}^{n-1}a_{l}^{x-i}sum_{r=l+1}^na_r^i ]

然后这个单求是很不可做的，但是，考虑到：

(i) 的枚举范围是 (0sim x)，我们不仅要枚举 ((i,x-i)) 的系数组合，还要枚举 ((x-i,i)) 的系数组合。

更重要的是:

[dbinom{x}{i}=dbinom{x}{x-i} ]

对上面那个东西移项容易得到：

[sum_{l=1}^{n-1}a_l^isum_{r=l+1}^n a_r^{x-i}+sum_{l=1}^{n-1}a_{l}^{x-i}sum_{r=l+1}^na_r^i=sum_{l=1}^n a_l^isum_{r=1}^na_r^{x-i}-sum_{j=1}^n a_j^x ]

在系数相同的前提下，这个东西完全可以合并起来一起算。

我们发现当 (2 mid x) 时，正好可以合并 (dfrac{x-1}{2}) 对，那么容易发现最后的答案是：

[sum_{i=0}^{frac{x-1}{2}}dbinom{x}{i}left(sum_{l=1}^na_l^isum_{r=1}^na_r^{x-i}-sum_{j=1}^na_j^x ight) ]

我们发现后面这个预处理一下，时间复杂度是 (mathcal O(nk)) 的，对于组合数我们先把阶乘搞出来，每次求就是 (mathcal O(log p)) 了，总的时间复杂度容易分析为 (mathcal O(k^2log p+nk))，对于 ATCoder 的神仙机器和这么大的时空限制（好像和 ATCoder 标准时空差不多......），完全可以过了。

嗯，你又问 (2 mid x) 怎么做。

首先对于除了中间那个 (dfrac{x}{2}) 和上面的算法是一样的。

我们将 (dfrac{x}{2}) 暴力带入上面那个式子可以发现：

[sum_{l=1}^{n-1}a_l^{frac{x}{2}}sum_{r=l+1}^n a_r^{frac{x}{2}}=sum_{l=1}^n a_l^{frac{x}{2}}sum_{r=1}^na_r^{frac{x}{2}}-sum_{j=1}^n a_j^x-sum_{l=1}^{n-1}a_{l}^{frac{x}{2}}sum_{r=l+1}^na_r^{frac{x}{2}} ]

然后容易解出：

[sum_{l=1}^{n-1}a_l^{frac{x}{2}}sum_{r=l+1}^n a_r^{frac{x}{2}}=dfrac{1}{2}left(sum_{l=1}^n a_l^{frac{x}{2}}sum_{r=1}^na_r^{frac{x}{2}}-sum_{j=1}^n a_j^x ight) ]

我们手算就能得到 (2) 在 (mod 998244353) 意义下的逆元是 (499122177)。

总结一下：

[ans=egin{cases}sumlimits_{i=0}^{frac{x-1}{2}}dbinom{x}{i}left(sumlimits_{l=1}^na_l^isumlimits_{r=1}^na_r^{x-i}-sumlimits_{j=1}^na_j^x ight) &2 mid x\sumlimits_{i=0}^{frac{x}{2}-1}dbinom{x}{i}left(sumlimits_{l=1}^na_l^isumlimits_{r=1}^na_r^{x-i}-sumlimits_{j=1}^na_j^x ight)+dfrac{1}{2}dbinom{x}{frac{x}{2}}left(sumlimits_{l=1}^n a_l^{frac{x}{2}}sumlimits_{r=1}^na_r^{frac{x}{2}}-sumlimits_{j=1}^n a_j^x ight)&2mid xend{cases} ]

下面是参考代码：

#include"iostream"
#include"cstdio"
#include"cmath"
#include"cstring"
#include"algorithm"
#include"stack"
#include"queue"
using namespace std;

#define read(x) scanf("%d",&x)
#define readl(x) scanf("%lld",&x)
#define ll long long 
#define ull unsigned long long
#define MOD 998244353
#define MAXN 200005 

int n,k;
ll sum[305],Cs[305];
ll fac[305];
ll a[MAXN];

ll quickpow(ll a,ll b)
{
	ll ans=1,base=a;
	while(b)
	{
		if(b&1) ans=ans*base%MOD;
		b>>=1;
		base=base*base%MOD;
 	}
 	return ans%MOD;
}

ll inv(ll a){return quickpow(a,MOD-2)%MOD;}

int main()
{
	read(n),read(k);
	fac[0]=1ll;
	for(int i=1;i<=n;i++) readl(a[i]);
	for(int i=1;i<=k;i++) fac[i]=fac[i-1]*i%MOD;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		ll op=1ll;
		for(int j=0;j<=k;j++)
		{
			sum[j]=(sum[j]+op)%MOD;
			op=op*a[i]%MOD;
		}
	}
	for(int x=1;x<=k;x++)
	{
		ll ans=0;
		if(x&1)
		{
			for(int i=0;i<=x/2;i++)
			{
				ll c=fac[x]*inv(fac[x-i]*fac[i]%MOD)%MOD;
				ll now=(sum[i]*sum[x-i]-sum[x]+MOD)%MOD;
				ans=(ans+now*c%MOD)%MOD;
			}
		}
		else
		{
			for(int i=0;i<x/2;i++)
			{
				ll c=fac[x]*inv(fac[x-i]*fac[i]%MOD)%MOD;
				ll now=(sum[i]*sum[x-i]%MOD-sum[x]+MOD)%MOD;
				ans=(ans+now*c%MOD)%MOD;
			}
			ll c=fac[x]*inv(fac[x/2]*fac[x/2]%MOD)%MOD;
			ll now=(sum[x/2]*sum[x/2]%MOD-sum[x]+MOD)%MOD;
			ans=(ans+now*c%MOD*499122177%MOD)%MOD;
		}
		printf("%d
",ans%MOD);
	}
	return 0;
} 

小日本（的神机果然厉害，只跑了 (260ms) /jk。