SX学SX内容 笔记?

某帖子笔记1

主要还是从三体吧某精品贴里看来的...

集合论

集合就是一堆东西...满足

• 1. 集合中的元素互异(即每种只有一个)
• 2. 集合中的元素无序(不是一个数组,集合中的元素没有显然的排序法则)
• 3. 集合是确定的(包括满足条件的所有东西,比如'一个集合包含有所有可能存在的集合'是不正确的)

组

组是一类数学对象.组是有序的、多元的.

组的表示方法:$(val1[,val_k]*)$

笛卡尔积

定义两个集合的笛卡尔积

[S imes M=\{(a,b)mid ain S,bin M\} ]

映射

映射是一种从一个集合到另一个集合的对应关系,对于默认朴素集合论的情况属于基本概念.

(注意,以下定义自指涉,但是可以用来了解映射的性质.)

映射可以看成由一个集合组成的对象(f=mapping(mathtt{MmapstoQ})),其中(mathtt{MmapstoQ}subseteq M imes Q)且

[forall ain M,left( (exists (b,c)in mathtt{MmapstoQ},b=a)wedge( eg (exists (d,e)in mathtt{MmapstoQ}setminus (b,c),d=a)) ight) ]

此时记(f:M ightarrow Q),(c=f(a)).

(到这里结束)

二元运算

(oplus:S imes S ightarrow S)将(oplus)称为(S)上的一个二元运算,(aoplus b=oplus((a,b)))

逻辑学

布尔型

布尔型就是真和假.真就是(mathtt{true}),一般可以用(1)表示,假就是(mathtt{false}),用(0)表示.

我们可以把布尔型归入一个集合即Boolean集合:$mathtt{Boolean}={ mathtt{true},mathtt{false} } $

命题

一个命题可以看作一个映射(mathtt{P}:U ightarrow mathtt{Boolean}),其中(U)是命题所判断对象的全集.

以下定义一个记号(U_{mathtt{P}}),其定义是(U_{mathtt{P}}=\{xmid xin U,mathtt{P}(x)=mathtt{true}\})

布尔运算

• a and b => (a wedge b)
  • bool and bool = false
  • true and true = true
  • (U_{P(x)wedge Q(x)}=U_{P(x)}cap U_{Q(x)})
• a and b => (a vee b)
  • bool or bool = true
  • false or false = false
  • (U_{P(x)vee Q(x)}=U_{P(x)}cup U_{Q(x)})
• a imp b => (a ightarrow b)
  • bool imp bool = true
  • false imp true = false
  • (P(x) ightarrow Q(x) Rightarrow U_{P(x)}subseteq U_{Q(x)})
• a equip b => (a leftrightarrow b)
  • a equip b = [ a == b ]
  • (P(x)leftrightarrow Q(x) Rightarrow U_{P(x)}= U_{Q(x)})
• not a => ( eg a)
  • not a = [ 1 - a ] : a as Boolean
  • (U_{ eg P(x)}=Usetminus U_{P(x)})

条件

充分条件 (ARightarrow B),(A)是(B)的充分条件.
必要条件 ( eg ARightarrow eg B),(A)是(B)的必要条件.
命题表示法 (mathtt{P}(x)= x ightarrow P) (x)为条件 (P)为结果
逆命题 (inv(P(x))=P ightarrow x)
否命题 (neg(P(x))= eg x ightarrow eg P)
逆否命题 (invneg(P)=inv(neg(P)))

[invneg(P) Leftrightarrow P~~~恒成立,这条由集合的二分律保证. ]

自然数

皮亚诺公理化体系

自然数是一个戴德金-皮亚诺结构,戴德金-皮亚诺结构是一个满足以下几个性质的三元组(mathbb{Z}=(S,f,e)):

• (ein S)
• (f:S ightarrow S)
• ((forall bin S)(forall cin S)((f(b)=f(c))Leftrightarrow (b=c)))
• ((forall ain S)( eg (f(a)=e)))
• ((forall Psubseteq S)left((ein P)wedge((forall ain P)(f(a)in P))Leftrightarrow (S=P) ight))

序数的冯·诺依曼定义

[e={},f(x)=xcup \{x\} ]

• 0 {}
• 1 {{{}}}
• 2 {{{}},{{{{}}}}}
• 3 {{{}},{{{{}}}},{{{{}},{{{{}}}}}}}
• 4 {{{}},{{{{}}}},{{{{}},{{{{}}}}}},{{{{}},{{{{}}}},{{{{}},{{{{}}}}}}}}}
• ...
• 然并卵

加法

定义加法为(S)上的二元运算(+)满足

• ((forall ain S)(a+e=a))
• ((forall a,bin S)(f(a)+b=f(a+b)))

可以证明这种运算的唯一性.即假设有两种不同定义的二元运算满足以上条件为(+)和(oplus),可以发现((forall a,bin S)(a+b=aoplus b)).