Introduction
这一章，解决的是用prediction的方法，来评估策略(pi)的问题。
对于Env来说，不是参数已知的MDP
比如元组中a、s、P的关系不确定 or 未知
Prediction -> Control
Evaluation -> Optimization
蒙特卡洛法 Monte-Carlo learning
- 定义：在不清楚MDP状态转移及即时奖励的情况下，直接从经历完整的Episode来学习状态价值，通常情况下某状态的价值等于在多个Episode中以该状态算得到的所有收获的平均。
适用于MDP参数未知，回合制更新，遍历了所有状态s
MC是基于大数定律的：
当采样足够多时，就可以代表真值
[ N(s)->infty Rightarrow V(s) -> V_pi(s)]
- 说明：
- 均值累计计算可以用(v = sum/N)
- 也可以用累进更新 Incremental Mean
[
egin{aligned}
mu_{k} &=frac{1}{k} sum_{j=1}^{k} x_{j} \
&=frac{1}{k}left(x_{k}+sum_{j=1}^{k-1} x_{j} ight) \
&=frac{1}{k}left(x_{k}+(k-1) mu_{k-1} ight) \
&=mu_{k-1}+frac{1}{k}left(x_{k}-mu_{k-1} ight)
end{aligned}
]
类似于PID的P 增益随着N增大，在逐步缩小
为了简化计算，改写方程，用(alpha)代替(frac{1}{N(s_t)})
这样可以用固定步长来替代变步长(frac{1}{k})
[V(S_t) leftarrow V(S_t)+alpha(G_t - V(S_t))]
可以看做是，(v_{new} = v_{old} + alpha(v_{target} - v_{old}))，括号里面是误差
可以看到这里的(alpha)和机器学习里面用的学习率是一个符号
差分法Temporal-Difference learning
MC 在 episode遍历完之后，回合更新，效率低
TD 实现边走边更新
引入时间t的概念
- 直接从episodes 的经验学习
- model-free：不知道MDP的Transition转移和Reward回报
- Bootstrapping自举学习，从部分例子学习
Goal：学习(v_{pi}) 的值，under policy (pi)
时序分析法 TD(0）：
[
Vleft(S_{t}
ight) leftarrow Vleft(S_{t}
ight)+alphaleft(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1}
ight)-Vleft(S_{t}
ight)
ight)
]
- TD target 是 下一个时刻的(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1} ight))
- TD误差：(left(R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1} ight)-Vleft(S_{t} ight) ight))
Bootstrapping：根据episode表现来更新V值，自举（依靠自己努力获得）
与MC方法区别
| 项目 | MC | TD |
|---|---|---|
| 不完整片段学习能力 | 无 | 有 |
| 在线学习(every step)能力 | update until the end | 有 |
| loop环境学习能力 | 无，必须terminating | 有 |
| 收敛性好 | 是 | |
| 初值敏感 | 否 | 是 |
| 偏差bias | zero | some |
| 方差variance | high | low |
估计方法背后的理论
- MC方法：最小化均方根MSE
[
sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}}left(G_{t}^{k}-Vleft(s_{t}^{k} ight) ight)^{2}
] - TD（0）方法：最大似然估计 max likelihood Markov model
Solution to the MDP (langlemathcal{S}, mathcal{A}, hat{mathcal{P}}, hat{mathcal{R}}, gamma angle) that best fits the data
[
hat{mathcal{P}}_{s, s^{prime}}^{a} =frac{1}{N(s, a)} sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}} 1left(s_{t}^{k}, a_{t}^{k}, s_{t+1}^{k}=s, a, s^{prime} ight)
]
[
hat{mathcal{R}}_{s}^{a} =frac{1}{N(s, a)} sum_{k=1}^{K} sum_{t=1}^{T_{k}} 1left(s_{t}^{k}, a_{t}^{k}=s, a ight) r_{t}^{k}
]
总结：DP、MC、TD
- Bootstrapping自举：利用自己估计值update
- Sampling采样 ：更新样本期望
| 项目 | 动态规划DP | 蒙特卡洛MC | 差分TD |
|---|---|---|---|
| 自举Bootstrapping | 1 | 0 | 1 |
| 采样Sampling | 0 | 1 | 1 |
- TD用了Markov特性，因此在MP过程高效
- MC相反，统计规律，非MP过程同样有效
MC: 采样，一次完整经历，用实际收获更新状态预估价值
TD：采样，经历可不完整，用喜爱状态的预估状态价值预估收获再更新预估价值
DP：没有采样，根据完整模型，依靠预估数据更新状态价值
TD(λ)法
视野（深度）影响TD算法的稳定性，但是视野去多深，不知道
因此，综合不同深度的视野，加权求和，即TD((lambda))
扩展TD(0)，视野扩展到N个step，N=全过程时，变为MC
TD（N）推导
对于某个问题来说，没有那个N值是最优的
因此，用几何加权的方法来对视野做平均
Forward 前向视角认知 (TD(lambda))
例子：
老鼠在连续接受了3次响铃和1次亮灯信号后遭到了电击，那么在分析遭电击的原因时，到底是响铃的因素较重要还是亮灯的因素更重要呢？
两个启发：
- 出现频率高的状态
- 出现频率低的状态
(lambda)：对视野的平均
for iteration： t -> t+1
update value function
引入权重概念，前面的重要，指数衰减
Backward 反向认知TD(λ)：提供了单步更新的机制
Credit assignment：
引入 Eligibility Traces：状态s的权重，是一个时间序列
当s重复出现，E值升高，不出现，指数下降
(E_{0}(s)=0)
(E_{t}(s)=gamma lambda E_{t-1}(s)+mathbf{1}left(S_{t}=s
ight))
Backward步骤：
- 对每个状态s 创建 迹值
- 对每个状态s 更新 V(s)
- 与 TD-error((delta_t)) 和 Eligibility trace (E_t(s)) 成比例
[
egin{aligned}
delta_{t} &=R_{t+1}+gamma Vleft(S_{t+1}
ight)-Vleft(S_{t}
ight)\
V(s) & leftarrow V(s)+alpha delta_{t} E_{t}(s)
end{aligned}
]
[
sum_{t=1}^{T} alpha delta_{t} E_{t}(s)=sum_{t=1}^{T} alphaleft(G_{t}^{lambda}-Vleft(S_{t}
ight)
ight) 1left(S_{t}=s
ight)
]
总结
- Offline update：TD(0) = TD((lambda)) = TD(1)
- Online update： TD((lambda))前后向视图不一致，引入Exact online TD((lambda))可以解决这个问题
- TD(0) 向后看一步
- TD((lambda)) 视野距离按(lambda)指数衰减，叠加
- TD(1) 视野不按指数衰减
- 能在RL中被应用，看中了TD的自举特性
