Huffman树
严格意义上来说不算是字符串的内容，但是还是放在这里讲了。
一个很简单的模型，用来解决最优编码问题。
这个模型非常好理解，证明也非常显然，这里主要记录一下由 (2) 叉 ( ext{Huffman}) 树推广到 (k) 叉 ( ext{Huffman}) 树的过程。
下述证明约定，字符 (x) 的频率为 (f(x))。
为了推广结论，我们需要证明两个性质：
- 贪心法选择，即最优解被包含在子问题的最优解中：设 (x_1,x_2..x_k) 是加权字符集 (C) 中频率最小的 (k) 个字母，则这 (k) 个字符在最优编码树中对应的节点必有共同的父亲。
- 最优子结构：设 (T) 是加权字符集 (C) 的最优编码树，(x_1,x_2..x_k) 是树中 (k) 个叶子，且这 (k) 个叶子互为兄弟节点，(fa) 为他们的父节点，若把 (fa) 看作具有频率为 (sum_{i=1}^kf(x_i)) 的字符，则树 (T'=T-{x_1,x_2,..x_k}) 是字符集 (C'=C-{x_1,x_2,..x_k}igcup fa) 的最优编码树。
首先来证明第一个性质，若存在 (y_1,y_2,..y_k) 为加权字符集 (C) 的编码树 (T) 上深度最大的节点，不妨设(f(y_1)leq f(y_2)leq..f(y_k),f(x_1)leq f(x_2)leq..f(x_k))，则 (f(x_1)leq f(y_1),f(x_2)leq(y_2)..,f(x_k)leq f(y_k))，若分别交换((x_1,y_1),(x_2,y_2)..(x_k,y_k))后解也不会变得更差，于是得证。
第二个性质更加容易证明，设 (T') 的编码长度为 (L')，其中 ({x_1,x_2..x_k}) 的深度为 (h)，那么 (T) 的编码长度为 (L=L'-h imessum_{i=1}^kf(x_i)+sum_{i=1}^k(h+1) imes f(x_i)=L'+sum_{i=1}^kf(x_i))，由于(sum_{i=1}^kf(x_i)) 为定值，所以当且仅当 (T') 最优时，(T) 是最优编码树。
于是 (2) 叉 ( ext{Huffman}) 树的解法就推广到了 (k) 叉 ( ext{Huffman}) 树，但是需要注意一点，由于 (k) 叉 ( ext{Huffman}) 树在深度为 (2) 时，对于一些带权字符集 (C) ，不一定能够取满 (k) 叉，因此可能取不到最优解。我们可以在叶子节点处补若干个 (f) 值为 (0) 的节点，令其能够取满。这里给出一个结论，当叶子节点数 (n) 满足 ((n-1) mod (k-1)=0) 时，必然在深度为 (2) 时能够取满 (k) 叉，也就能取到最优解。
证明也非常简单，对于一个 (k) 叉的最优 ( ext{Huffman}) 树（在深度为 (2) 时能够取满），设其 (k) 度节点数为 (n)，叶节点数目为 (m)，则有 (k imes n) 条边。自然得到 (k imes n = N-1,m+n=N)，联立可得 ((k-1) imes n=m-1)，于是有 ((m-1)mod (k-1))。注意，此处的 (m) 为叶子节点数，也就是上文的 (n)。
于是，(k) 叉 ( ext{Huffman}) 树的求解就分为以下几个部分：
- 添加 (f) 值为 (0) 的叶子节点，令建立出的 ( ext{Huffman}) 树一定是最优的。
- 仿照 (2) 叉 ( ext{Huffman}) 树的解法，每次从堆中取出 (f) 值最小的 (k) 个节点，将他们的 (f) 值累加，作为新节点重新放入堆中，直到堆的大小为 (k)，这个过程中在答案上每次累加这 (k) 个节点的 (f) 值。
- 最后的答案就是整个 ( ext{Huffman}) 树对应的最小编码长度，可以根据上述过程建出 ( ext{Huffman}) 树并求出每个字母对应的编码。
有一个很松的上界 (O((frac{n}{k}+n) log (frac{n}{k}+n)) approx O(2n log 2n))，由于此类问题中 (k) 一般非常小，所以可忽略 (k) 对时间复杂度的影响。