基本数据结构 -- 树简介

一、什么是树

　　树是一个有限结点组成的集合。可以用递归的方式来定义一棵树：树可以是一个空集，若非空，则一棵树由一个根（root）结点 r 以及 0 个或多个非空的（子）树 T1、T2、T3、...,Tk 组成，这些子树中的每一棵的根都被来自根 r 的一条有向的边（edge）所连接。每一棵子树的根叫做根 r 的儿子（child），而 r 是每一棵子树的根的父亲（parent）。

树的几个概念：

1）树叶（leaf）：从上述的递归定义可以知道，一棵树是由 N 个结点和 N-1 条边组成的集合。每个结点都可以有零个或任意多个儿子，没有儿子的结点称为树叶（leaf）；

2）兄弟（sibling）：具有相同父亲的结点称为兄弟（sibling）；

3）路径（path）：从结点 n₁ 到 n_k 的路径定义为结点 n₁、n₂、n₃、...、n_k 的一个序列，使得对于 1 <= i  <= k，结点 n_i 是 n_i+1 的父亲。这个路径的长为该路径上的边的条数，即 k-1。从每一个结点到它自己有一条长为 0 的路径。在一棵树中，从根到每个结点恰好存在一条路径。

4）深度（depth）：对于任意结点 ni，ni 的深度为从根到 ni 的唯一路径的长，根的深度为0；

5）高（height）：对于任意结点 ni，ni 的高为从 ni 到一片树叶的最长路径的长，树的高等于它的根的高（只有一个根结点的树的高度为0，空树的高度为 -1）；

6）结点的度：一个结点的儿子的个数。

图 1-1 树

　　如图所示，为一棵树，其中，A是根结点；B、C、D、E、F 为 A 的儿子，A 为它们的父亲；B 和 C有相同的父亲，它们是兄弟（sibling）；从结点 A 到结点 M 的路径为 A、D、H、M；结点 B 的深度为1；结点 D 的高度为 3；整棵树的高度为 4。

二、二叉树

　　二叉树是一棵树，其中每个结点最多有两个儿子，分别为左子结点和右子结点。二叉树的平均深度是 O(√N)。

2.1 二叉树的实现

　　因为一棵二叉树的每个结点最多只能有两个子结点，故而我们可以用指针直接指向它们。树结点的声明在结构上类似于双链表的声明，在声明中，一个结点由关键字（Key）和两个指向其他结点的指针（Left 和 Right）组成：

typedef int ElementType;

struct TreeNode {
    ElementType Element;
    struct TreeNode *Left;
    struct TreeNode *Right;
};

typedef struct TreeNode *PtrToNode;
typedef PtrToNode BinaryTree;

　　这段代码声明了一个结构，该结构包含一个 ElementType 类型的数据，用于保存结点数据；一个 Left 指针，指向结点的左子树；和一个 Right 指针，指向结点的右子树。

2.2 二叉树的遍历

　　按一定的顺序，依次访问二叉树中的所有结点的操作称为遍历。有三种方式可以对二叉树进行遍历，以下面这幅图为例进行介绍：

图 2-1 二叉树

1）先序遍历：

　　先访问根结点，然后遍历左子树，再遍历右子树。对图 2-1 所示的二叉树进行先序遍历结果为：A-B-D-G-H-E-C-F-I-J。 先序遍历一棵二叉树的C语言实现如下：

/* 先序遍历，递归实现 */
void PreOrderRecursion(BinaryTree T)
{
    if (T != NULL) {
        printf("%d	", T->Element);
        PreOrderRecursion(T->Left);
        PreOrderRecursion(T->Right);
    }
}

　　上述代码用递归的方式实现了先序遍历二叉树。需要注意的是判断条件，要时刻判断二叉树是否为空，这在递归中尤为重要。递归实现先序遍历的代码十分简洁且易懂。但是，递归调用的空间复杂度较大，当输入规模很大时，会占用相当多的内存，也容易造成堆栈的溢出。

　　可以使用非递归的方式来实现先序遍历，大致思想如下：首先，将根结点保存到一个数据结构里，然后访问左子树，待左子树访问完后，取出根结点，再访问右子树；每访问一个子树之前，都将这棵子树的根结点保存，待需要访问其右子树时再取出。可以知道的是，先保存进去的结点数据后取出，是一个后入先出结构，因此使用栈来保存根结点的数据十分合适。

2）后序遍历：

　　先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根结点。对图 2-1 所示的二叉树进行后序遍历的结果为：G-H-D-E-B-I-J-F-C-A。

/* 后序遍历，递归实现 */
void PostOrderRecursion(BinaryTree T)
{
    if (T != NULL) {
        PostOrderRecursion(T->Left);
        PostOrderRecursion(T->Right);
        printf("%d
", T->Element);
    }
}

3）中序遍历：

　　先遍历左子树，然后访问根结点，再遍历右子树。对图 2-1 所示的二叉树进行中序遍历的结果为：G-D-G-B-E-A-C-I-F-J。

/* 中序遍历，递归实现 */
void InOrderRecursion(BinaryTree T)
{
    if(T != NULL){
        InOrderRecursion(T->Left);
        printf("%d
",T->Element);
        InOrderRecursion(T->Right);
    }
}

三、一些特殊的二叉树

3.1 满二叉树

　　满二叉树是一棵深度为 k,且有 2^(k-1) 个结点的二叉树，如下图所示：

图 2-2 满二叉树

　　这就是一个满二叉树，可以看到，满二叉树的所有叶子都在同一层  ——  最后一层，非叶子结点的度一定为2。在同样深度的二叉树中，满二叉树的结点数是最多的，叶子数也是最多的。

3.2 完全二叉树

　　完全二叉树，除了最后一层外，其余层都是满的，且最后一层的叶子结点都几种在树的左边。满二叉树就是完全二叉树的一个特例。如下图：

图 2-3 完全二叉树

3.3 二叉查找树（二叉排序树）

　　二叉查找树是二叉树的一种，更适合于进行查找操作。对于二叉查找树，树中的每个结点 X 的左子树中所有关键字的值小于 X 的关键字值，而它的右子树中所有关键字值大于 X 的关键字值。这意味着，该树的所有元素可以以某种统一的方式进行排序。二叉查找树的平均深度是 O(logN)。 

 

图 2-4 二叉查找树

参考资料：

《算法导论 第三版》

《数据结构与算法分析--C语言描述》