两个集合的容斥关系公式：A∪B = A+B - A∩B
三个集合的容斥关系公式：A∪B∪C = A+B+C - A∩B - B∩C - C∩A +A∩B∩C
四个集合的容斥关系公式：A∪B∪C∪D = |A|+|B|+|C|+|D| - |A∩B| - |A∩C| - |A∩D|- |B∩C| - |B∩D| - |C∩D|
+|A∩B∩C|+|A∩B∩D| +|A∩C∩D| +|B∩C∩D| - |A∩B∩C∩D|
n个集合的容斥关系公式：|A1∪A2∪A3∪…∪An| = ∑|Ai1|-∑|Ai1∪Ai2|+…+（-1)^(k+1)∑|Ai1∪Ai2∪…∪Aik|
+…+（-1)^(n+1)∑|A1∪A2∪…∪An|
应用
1. 求10000以内不能被 2 3 5 整出的数
ans = n/2 + n/3 + n/5 + n/6 + n/10 + n/15 + n/30；
答案 = 10000 - ans
2. n封信对应n个信封，求恰好全部装错了信封的方案数
先讲一下全错排算法
要装第i封信的时候，先把前i-1个信全装错信封，然后随便选其中一个与第i封信交换，有i-1种选法
那么dp[i] = (i-1) * dp[i-1]
但是还有一种情况
要装第i封信的时候，先从i-1封信中任选i-2个信把他们全装错信封，然后把剩下的那个信与第i个交换，从i-1封信中任选i-2个信有i-1种选法
那么dp[i] = (i-1) * dp[i-2]
两个式子联合起来就是个递归的式子dp[i] = (i-1) * (dp[i-1] + dp[i-2])
然后讲一下容斥算法
首先，所有装信的总数是n！
A1表示1封信装对信封，数量是(n-1)! （只有n-1个位置可以乱放）
A2表示2封信装对信封，数量是(n-2)! （只有n-2个位置可以乱放）
...
An表示n封信装对信封，数量是1
那么这题的答案就是
n! - C(n, 1)*|A1| + C(n, 2)*|A2| - C(n, 3)*|A3| + ... + (-1)^n * C(n, n)*|A4|
化简
n! - n! / 1! + n! / 2! - n! / 3! + ... + (-1)^n * n! / n!
提取n!
n!(1 - 1/1! + 1/2! - 1/3! + ... + (-1)^n * 1/n!)
3.给花盆涂色
给n盆花涂色，从m种颜色中选取k种颜色涂，保证正好用上k种颜色，你必须用上这k种颜色去涂满n个相邻的花，并且要求相邻花的颜色不同，求方案数。
(1 ≤ n, m ≤ 1e9 , 1 ≤ k ≤ 1e6 , k ≤ n, m)
首先，用k种颜色涂花，假如不考虑全部用上，那么总的方案数是多少
第一盆花有k种颜色选择，之后的花因为不能跟前一盆花的颜色相同，所以有k-1种选择
于是总方案数为k*(k-1)^(n-1)
因为题目问必须用上k种颜色
这里面包含了只用k-1种颜色的情况，应该减掉所有用k-1种的情况
减掉的东西里面，这里面包含了只用k-2种颜色的情况，应该加回来...
反反复复，最后就得出答案了
4.求(a,b)区间与n互质的数的个数
我们可以先求(1~b)区间的答案，然后减去(1~a-1)区间的答案
这样问题就转换为(1~m)区间与n互质的数的个数
互质的不好求，我们可以求不互质的个数，然后减一下
所有我们先求出n的所有质因数，然后用容斥做
#include <bits/stdc++.h> #define ll long long using namespace std; vector<ll> p; vector<ll>::iterator it; vector<ll> v; void init(ll x) { p.clear(); for(ll i =2;i*i<=x;i++) { if(x%i == 0){ p.push_back(i); while(x%i == 0) x /= i; } } if(x>1) p.push_back(x); int v_size; v.clear(); for(int i=0;i<p.size() ;i++) { v_size = v.size(); for(int j=0;j<v_size;j++) { v.push_back(v[j] * p[i]); } v.push_back(p[i]); } } ll work(ll x) { ll ans = x,flag = -1; for(int i=0;i<v.size();i++) { ans += flag*x/v[i]; flag = -flag; } return ans; } int main() { int t; ll l,r,n; cin>>t; while(t--) { cin>>l>>r>>n; init(n); cout<<work(r) - work(l-1)<<endl; } return 0; }