六、(10分) 设 $n\,(n>1)$ 阶方阵 $A$ 满足: 每行元素之和都等于 $c$, 并且 $|A|=d eq 0$. 试求 $A$ 的所有代数余子式之和 $sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}$.
解法一 (矩阵性质) 设 $alpha=(1,1,cdots,1)'$, 则由条件可知 $Aalpha=calpha$. 由于 $A$ 是非异阵, 故 $c eq 0$ (否则由 $Aalpha=0$ 可推出 $alpha=0$, 矛盾), 于是 $A^{-1}alpha=c^{-1}alpha$. 注意到 $A^*=|A|A^{-1}$, 故 $A^*alpha=|A|A^{-1}alpha=dfrac{d}{c}alpha$, 即 $A^*$ 的每行元素之和都等于 $dfrac{d}{c}$, 从而 $sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}=dfrac{nd}{c}$.
解法二 (行列式性质) 将行列式 $|A|$ 的第 $j$ 列之外的其他列全部加到第 $j$ 列上, 则由条件和行列式的性质可得: $$|A|=egin{vmatrix} a_{11} & cdots & c & cdots & a_{1n} \ a_{21} & cdots & c & cdots & a_{2n} \ vdots & & vdots & & vdots \ a_{n1} & cdots & c & cdots & a_{nn} \ end{vmatrix}.$$ 右边的行列式按照第 $j$ 列进行展开, 可得 $$d=c(A_{1j}+A_{2j}+cdots+A_{nj}),$$ 于是 $sumlimits_{i=1}^nA_{ij}=dfrac{d}{c}$, 从而 $sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}=dfrac{nd}{c}$.
解法三 (行列式模板) 采用与高代白皮书例 1.32 相同的记号, 则有 $|A(t)|=|A|+tsumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}$. 注意到 $A(-dfrac{c}{n})$ 的每行元素之和都等于零, 从而它是奇异阵, 于是 $$0=|A(-dfrac{c}{n})|=|A|-frac{c}{n}sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}=d-frac{c}{n}sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij},$$ 由此即得 $sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}=dfrac{nd}{c}$.
解法四 (降阶公式) 设 $alpha=(1,1,cdots,1)'$, 则由降阶公式或高代白皮书的例 1.8 可得 $$egin{vmatrix} A & alpha \ alpha' & 1 \ end{vmatrix}=|A|-sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}.$$ 另一方面, 将左边行列式的前 $n$ 列全部加到第 $n+1$ 列上, 可得 $$|A|-sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}=egin{vmatrix} A & alpha \ alpha' & 1 \ end{vmatrix}=egin{vmatrix} A & (c+1)alpha \ alpha' & n+1 \ end{vmatrix}=(n+1)|A|-(c+1)sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij},$$ 由此即得 $sumlimits_{i,j=1}^nA_{ij}=dfrac{nd}{c}$. $Box$
注 本题共有 97 名同学完全做出, 其中 33 人采用解法一; 32 人采用解法二; 29 人采用解法三 (形式上略有不同, $t$ 可以选取不同的值); 3 人采用解法四 (形式上略有不同, 可以把右下角的 1 换成任意的常数). 如果大家去对比一下 19 级高代 I 每周一题第 7 题, 就不难发现: 数学问题经过适当的抽象之后, 往往更容易看清楚问题的本质, 从而可以得到更加简洁的解法或证法.