[问题2014S02] 解答 首先注意到: 两个实系数多项式 (f(x),g(x)) 互素当且仅当 (f(x),g(x)) 在复数域 (mathbb{C}) 上没有共公根, 当且仅当结式 (R(f(x),g(x)) eq 0).
我们先证明: 当 (t) 充分大时, (f(x)) 与 (g_t(x)) 互素. 事实上, (f(x)) 在复数域 (mathbb{C}) 上只有 (n) 个根, 只要取充分大的 (t), 就能保证这 (n) 个根不是 (g_t(x)) 的根.
考虑结式 (R(f(x),g_t(x))), 由定义知它是关于未定元 (t) 的实系数多项式, 记为 (h(t)). 由前面的论证知, 当 (t) 充分大时, (h(t) eq 0), 这说明 (h(t)) 是一个非零的实系数多项式. 由多项式的理论知, (h(t)) 在实数域 (mathbb{R}) 上只有有限个根. 记 (h(t)) 的所有非零实根绝对值的最小值为 (delta), 则当 (0<|t|<delta) 时, [R(f(x),g_t(x))=h(t) eq 0,] 从而 (f(x)) 与 (g_t(x)) 互素. (Box)