[问题2014S03] 解答 设 (A) 的 (n) 个特征值分别为 (lambda_1,lambda_2,cdots,lambda_n), 由条件知它们都是不等于零的实数. 根据复旦高代白皮书第 181 页例 6.13 的结论可得 [ sum_{1leq i_1<i_2<cdots<i_rleq n}lambda_{i_1}lambda_{i_2}cdotslambda_{i_r}=sum_{1leq i_1<i_2<cdots<i_rleq n}Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_r \ i_1 & i_2 & cdots & i_r end{pmatrix},\,1leq rleq n, cdotscdots (1) ]
由条件知 [ sum_{1leq i_1<i_2<cdots<i_{n-1}leq n}lambda_{i_1}lambda_{i_2}cdotslambda_{i_{n-1}}=0, cdotscdots(2) ]
(2) 式左边除以 (|A|=lambda_1lambda_2cdotslambda_n) 可得 [sum_{i=1}^nfrac{1}{lambda_i}=0, cdotscdots(3) ]
(3) 式左边平方, 并将平方项移到等式的右边可得 [ sum_{1leq i<jleq n}frac{1}{lambda_ilambda_j}=-frac{1}{2}Big(sum_{i=1}^nfrac{1}{lambda_i^2}Big)<0, cdotscdots(4) ]
(4) 式两边同时乘以 (|A|=lambda_1lambda_2cdotslambda_n) 可得 [ sum_{1leq i_1<i_2<cdots<i_{n-2}leq n}lambda_{i_1}lambda_{i_2}cdotslambda_{i_{n-2}}=-frac{1}{2}Big(sum_{i=1}^nfrac{1}{lambda_i^2}Big)|A|. cdotscdots(5) ]
由 (1) 式和 (5) 式可得 [ sum_{1leq i_1<i_2<cdots<i_{n-2}leq n}Aegin{pmatrix} i_1 & i_2 & cdots & i_{n-2} \ i_1 & i_2 & cdots & i_{n-2} end{pmatrix}=-frac{1}{2}Big(sum_{i=1}^nfrac{1}{lambda_i^2}Big)|A| ]
与 (|A|) 的符号相反, 从而至少存在 (A) 的一个 (n-2) 阶主子式, 其符号与 (|A|) 的符号相反. (Box)
根据上述证明的过程, 可将问题的结论改进如下:
加强结论 设非异实方阵 (A) 的所有特征值的幅角都属于 (ig[-dfrac{pi}{4},dfrac{pi}{4}ig]) 且至少有一个特征值的幅角属于 (ig(-dfrac{pi}{4},dfrac{pi}{4}ig)). 若 (A) 的所有 (n-1) 阶主子式之和等于零, 则存在 (A) 的一个 (n-2) 阶主子式, 其符号与 (|A|) 的符号相反.