[问题2014S13] 解答
(1) 先证必要性：若 (A=LU) 是 非异阵 (A) 的 (LU) 分解，则 (L) 是主对角元全部等于 1 的下三角阵，(U) 是主对角元全部非零的上三角阵. 由 Cauchy-Binet 公式知 [|A_k|=|L_k|cdot|U_k|=|U_k| eq 0,\,\,k=1,2,cdots,n,] 其中 (|A_k|,|L_k|,|U_k|) 分别表示 (A,L,U) 的第 (k) 个顺序主子式.
再证充分性以及分解的唯一性：我们对 (A) 的阶数 (n) 进行归纳. (n=1) 时, 结论显然成立. 设阶数 (<n) 时, 结论成立. 注意到 (A) 的第 (n-1) 个顺序主子阵 (A_{n-1}) 满足条件: 它的 (n-1) 个顺序主子式全部非零，故由归纳假设，(A_{n-1}) 存在唯一的 (LU) 分解：[A_{n-1}=L_{n-1}U_{n-1},] 其中 (L_{n-1}) 是主对角元全部等于 1 的 (n-1) 阶下三角阵，(U_{n-1}) 是主对角元全部非零的 (n-1) 阶上三角阵. 设 [A=egin{bmatrix} A_{n-1} & alpha \ eta' & a_{nn} end{bmatrix}=egin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \ x' & 1 end{bmatrix}egin{bmatrix} U_{n-1} & y \ 0 & z end{bmatrix}=egin{bmatrix} L_{n-1}U_{n-1} & L_{n-1}y \ x'U_{n-1} & x'y+z end{bmatrix},] 其中 (alpha,eta,x,y) 为 (n-1) 维列向量, (z) 为数. 由此可得：[ alpha=L_{n-1}y,\,\, eta'=x'U_{n-1},\,\,a_{nn}=x'y+z.] 因为 (L_{n-1},U_{n-1}) 为非异阵, 由上式可唯一解得：[y=L_{n-1}^{-1}alpha,\,\,x'=eta'U_{n-1}^{-1},\,\,z=a_{nn}-eta'U_{n-1}^{-1}L_{n-1}^{-1}alpha=a_{nn}-eta'A_{n-1}^{-1}alpha.] 令 [L=egin{bmatrix} L_{n-1} & 0 \ eta'U_{n-1}^{-1} & 1 end{bmatrix},\,\,U=egin{bmatrix} U_{n-1} & L_{n-1}^{-1}alpha \ 0 & a_{nn}-eta'A_{n-1}^{-1}alpha end{bmatrix},] 则 (A=LU) 即为 (A) 的唯一的 (LU) 分解.
(2) 我们对 (A) 的阶数 (n) 进行归纳，来证明 Cholesky 分解的存在性和唯一性. (n=1) 时, 结论显然成立. 设阶数 (<n) 时, 结论成立. 注意到 (A) 的第 (n-1) 个顺序主子阵 (A_{n-1}) 也是正定实对称阵, 故由归纳假设，(A_{n-1}) 存在唯一的 Cholesky 分解：[A_{n-1}=C_{n-1}'C_{n-1},] 其中 (C_{n-1}) 是主对角元全大于零的 (n-1) 阶上三角阵. 设 [A=egin{bmatrix} A_{n-1} & alpha \ alpha' & a_{nn} end{bmatrix}=egin{bmatrix} C'_{n-1} & 0 \ x' & y end{bmatrix}egin{bmatrix} C_{n-1} & x \ 0 & y end{bmatrix}=egin{bmatrix} C_{n-1}'C_{n-1} & C_{n-1}'x \ x'C_{n-1} & x'x+y^2 end{bmatrix},] 其中 (alpha,eta,x) 为 (n-1) 维列向量, (y) 为数. 由此可得：[ alpha=C_{n-1}'x,\,\,a_{nn}=x'x+y^2.] 由上式可唯一解得：[x=(C_{n-1}')^{-1}alpha,][y^2=a_{nn}-alpha'C_{n-1}^{-1}(C_{n-1}')^{-1}alpha=a_{nn}-alpha'A_{n-1}^{-1}alpha=frac{|A|}{|A_{n-1}|}>0,\,\,y=sqrt{frac{|A|}{|A_{n-1}|}}.] 令 [C=egin{bmatrix} C_{n-1} & (C_{n-1}')^{-1}alpha \ 0 & sqrt{frac{|A|}{|A_{n-1}|}} end{bmatrix},] 则 (A=C'C) 即为 (A) 的唯一的 Cholesky 分解. (Box)