八、(本题10分) 设 $V$ 为数域 $mathbb{K}$ 上的线性空间, $V_1,V_2$ 分别是 $V$ 的 $n$ 维, $m$ 维子空间, 使得 $V_1 otsubseteq V_2$. 设 ${e_1,e_2,cdots,e_n}$ 为 $V_1$ 的一组基, 证明: 可从这组基中选取固定的几个向量, 使得它们与 $V_2$ 的任一组基 ${f_1,f_2,cdots,f_m}$ 拼在一起均可成为 $V_1+V_2$ 的一组基.
证法一 设 $dim(V_1cap V_2)=d$, 则由 $V_1 otsubseteq V_2$ 可知 $V_1cap V_2$ 是 $V_1$ 的真子空间, 从而 $0leq d<n$. 任取 $V_1cap V_2$ 的一组基 ${g_1,g_2,cdots,g_d}$, 则由基扩张定理 (高代教材的定理 3.5.4 或白皮书的例3.25) 可知: 可从 ${e_1,e_2,cdots,e_n}$ 中选出 $n-d$ 个向量, 不妨设为 $e_1,cdots,e_{n-d}$, 使得 ${e_1,cdots,e_{n-d},g_1,cdots,g_d}$ 构成 $V_1$ 的一组基. 下面证明: 对 $V_2$ 的任一组基 ${f_1,f_2,cdots,f_m}$, ${e_1,cdots,e_{n-d},f_1,f_2,cdots,f_m}$ 都是 $V_1+V_2$ 的一组基. 因为 $dim(V_1+V_2)=dim V_1+dim V_2-dim(V_1cap V_2)=m+n-d$, 所以我们只要证明``上述 $m+n-d$ 个向量线性无关''和``$V_1+V_2$ 中任一向量均为上述 $m+n-d$ 个向量的线性组合''中的某一个即可, 我们来验证后者 (也可以验证前者, 请读者自己完成). 任取 $v_1+v_2in V_1+V_2$, 其中 $v_iin V_i$, 可设 $$v_1=a_1e_1+cdots+a_{n-d}e_{n-d}+b_1g_1+cdots+b_dg_d,\,\,\,\,v_2=c_1f_1+c_2f_2+cdots+c_mf_m.$$因为 $b_1g_1+cdots+b_dg_din V_1cap V_2subseteq V_2$, 故它可表示为 $f_1,f_2,cdots,f_m$ 的线性组合, 于是 $v_1+v_2$ 可表示为 $e_1,cdots,e_{n-d},f_1,f_2,cdots,f_m$ 的线性组合.
证法二 首先由高代教材的习题 3.4.7 或白皮书的例 3.7 可以得到一个等价的结论: 设 $alpha_1,cdots,alpha_m,eta$ 是 $V$ 中的向量, 若 $alpha_1,cdots,alpha_m$ 线性无关且 $eta otin L(alpha_1,cdots,alpha_m)$, 则 $alpha_1,cdots,alpha_m,eta$ 线性无关. 设 $S={f_1,f_2,cdots,f_m}$, 我们可以利用上述结论通过如下程序, 选取适当的 $e_i$ 不断地放入集合 $S$ 中, 使得 $S$ 最终成为 $V_1+V_2$ 的一组基. 若 $e_1 otin L(f_1,f_2,cdots,f_m)=V_2$, 则 $f_1,f_2,cdots,f_m,e_1$ 线性无关, 我们把 $e_1$ 放入 $S$ 中; 若 $e_1in L(f_1,f_2,cdots,f_m)=V_2$, 则不把 $e_1$ 放入 $S$ 中. 一般的, 设 $e_1,cdots, e_{j-1}$ 已经处理好了, 此时 $S={f_1,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_r}}$ (注意 $S$ 中的向量是线性无关的), 现来处理 $e_j$. 若 $e_j otin L(f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_r})=V_2+L(e_{i_1},cdots,e_{i_r})$, 则 $f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_r},e_j$ 线性无关, 我们把 $e_j$ 放入 $S$ 中; 若 $e_jin L(f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_r})=V_2+L(e_{i_1},cdots,e_{i_r})$, 则不把 $e_j$ 放入 $S$ 中. 设最终得到的 $S={f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_k}}$, 由上述操作可知: $f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_k}$ 线性无关并且所有的 $e_i\,(1leq ileq n)$ 都是 $f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_k}$ 的线性组合, 注意到 $V_1+V_2=L(e_1,cdots,e_n,f_1,cdots,f_m)$, 故由线性组合的传递性可知: ${f_1,f_2,cdots,f_m,e_{i_1},cdots,e_{i_k}}$ 是 $V_1+V_2$ 的一组基. 再次由上述操作可知, $e_{i_1},cdots,e_{i_k}$ 的选取不依赖于 $f_1,cdots,f_m$ 的选取 (而只依赖于 $V_2$), 故结论得证.
证法三 我们也利用商空间给出一个简单的证明 (商空间的概念可在抽象代数课程中学到). 由 $V_1 otsubseteq V_2$ 可知 $V_1cap V_2 otsubseteq V_1$, 考虑非零商空间 $V_1/(V_1cap V_2)$. 因为 ${e_1,e_2,cdots,e_n}$ 是 $V_1$ 的一组基, 所以向量组 ${ar{e}_i=e_i+V_1cap V_2\,(1leq ileq n)}$ 可以张成 $V_1/(V_1cap V_2)$, 从而其极大无关组是 $V_1/(V_1cap V_2)$ 的一组基, 不妨设其极大无关组为 ${ar{e}_{1},cdots,ar{e}_k}$. 由同构基本定理可知存在如下线性同构: $V_1/(V_1cap V_2)cong (V_1+V_2)/V_2$, 于是 ${e_1+V_2,cdots,e_k+V_2}$ 是 $(V_1+V_2)/V_2$ 的一组基, 由此容易验证 ${e_1,cdots,e_k,f_1,cdots,f_m}$ 就是 $V_1+V_2$ 的一组基 (具体细节请读者自己完成). $Box$
注 (1) 从几何的层面来看, 本题就是要找 $V_1cap V_2$ 在 $V_1$ 中的补空间 $U$, 并且 $U$ 是由 $e_1,cdots,e_n$ 中的某几个向量张成的. 直接选取不属于 $V_1cap V_2$ 的 $e_i$ 显然是错误的, 因为有可能所有的 $e_i$ 都不属于 $V_1cap V_2$ (参考高代教材第三章复习题 25 或白皮书例 3.55), 这也是绝大部分同学做错的原因. 证法一利用了基扩张定理找这样的补空间. 由于补空间同构于商空间 (这也是复旦高代教材没有引入商空间的原因之一), 所以证法一的商空间版本就是证法三. 证法二的思路是构造性的, 这一思路也可以用来证明``任一包含非零向量的向量组一定存在极大无关组'' 这一结论 (与高代教材中不一样的证明, 我前几年上课也用过这种证法).
(2) 本题完全做对的同学有: 宁盛臻、朱民哲、彭煜方、占文韬、何陶然、徐钰伦、崔子、董瀚泽. 商空间的证法由杨彦婷同学提供.