六、(本题10分) 设 $A$ 为数域 $mathbb{K}$ 上的 $2n$ 阶反对称阵, $alpha$ 为 $2n$ 维列向量, $x$ 为未定元, 证明: $$|A+xalphaalpha'|=|A|.$$
证法一(利用行列式的性质) 第一步是将 $|A+xalphaalpha'|$ 升阶为下三角行列式, 第二步是第二分块行左乘 $-xalpha$ 加到第一分块行上去, 第三步是将最后一列进行拆分, 第四步利用到了奇数阶反对称阵的行列式等于零这一性质 (高代教材的习题 1.4.3): $$|A+xalphaalpha'|=egin{vmatrix} A+xalphaalpha' & 0 \ alpha' & 1 end{vmatrix}=egin{vmatrix} A & -xalpha \ alpha' & 1 end{vmatrix}=xegin{vmatrix} A & -alpha \ alpha' & 0 end{vmatrix}+egin{vmatrix} A & 0 \ alpha' & 1 end{vmatrix}=|A|.$$
证法二(利用已知结论) 设 $A$ 的代数余子式为 $A_{ij}$, 则由 $A$ 反对称以及行列式的性质可得 $A_{ii}=0\,(1leq ileq 2n)$ 且 $A_{ij}+A_{ji}=0\,(forall\,i eq j)$. 设 $alpha=(x_1,x_2,cdots,x_{2n})'$, 则由高代教材的第一章复习题 15 或白皮书的例 1.8 可得 (第一步同证法一或直接由降阶公式可得) $$|A+xalphaalpha'|=egin{vmatrix} A & -xalpha \ alpha' & 1 end{vmatrix}=|A|+sum_{1leq i,jleq 2n}A_{ij}xx_ix_j=|A|+sum_{1leq i<jleq 2n}(A_{ij}+A_{ji})xx_ix_j=|A|.$$
证法三(利用降阶公式和摄动法) 先设 $A$ 为非异阵, 考虑分块矩阵 $egin{bmatrix} A & -xalpha \ alpha' & 1 end{bmatrix}$, 则由降阶公式可得 $$|A+xalphaalpha'|=|A|cdot(1+xalpha'A^{-1}alpha).$$ 注意到 $A^{-1}$ 仍为反对称阵, 由反对称阵的性质 (高代教材的第二章复习题 35 或白皮书的例 2.3) 可知 $alpha'A^{-1}alpha=0$, 于是 $|A+xalphaalpha'|=|A|$.
一般地, 设 $A_t=A+tS$, 其中 $S=mathrm{diag}{egin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{bmatrix},cdots,egin{bmatrix} 0 & -1 \ 1 & 0 end{bmatrix}}$ 为非异反对称阵 ($S$ 的取法有很多种, 但注意不能取 $I_{2n}$), 则 $|A_t|=|A+tS|=|S|cdot|tI_{2n}+S^{-1}A|=|tI_{2n}+S^{-1}A|$ 为 $t$ 的 $2n$ 次多项式, 它只有有限个根, 故存在一列有理数 $t_k o 0$, 使得 $A_{t_k}$ 为非异反对称阵. 由非异的情形可得 $|A_{t_k}+xalphaalpha'|=|A_{t_k}|$, 两边都是 $t_k$ 的多项式. 上述等式的两边同时取极限, 令 $t_k o 0$, 即有 $|A+xalphaalpha'|=|A|$.
证法四(利用矩阵的秩) 同证法三先证 $A$ 为非异反对称阵的情形. 若 $A$ 为奇异反对称阵, 则由高代教材的第三章复习题 46 或白皮书的例 3.84 可知, $r(A)$ 必为偶数, 又 $A$ 不满秩, 从而 $r(A)leq 2n-2$. 由矩阵秩的不等式 (高代教材的习题 3.6.5 或白皮书的例 3.62) 可知 $$r(A+xalphaalpha')leq r(A)+r(xalphaalpha')leq (2n-2)+1=2n-1,$$ 故 $A+xalphaalpha'$ 为奇异阵, 从而 $|A+xalphaalpha'|=0=|A|$. $Box$
注 本题完全做对的同学有: 宁盛臻、朱民哲、蒋亦凡、丁知愚、汪铈达、钟梓源、杨钊杰、陈裕丰、范凌虎、王旭磊、王雨程、焦思邈.