六、(本题10分) 设 $A$ 为 $n$ 阶幂零阵 (即存在正整数 $k$, 使得 $A^k=0$), 证明: $e^A$ 与 $I_n+A$ 相似.
证明 由 $A$ 是幂零阵可知, $A$ 的特征值全为零. 设 $P$ 为非异阵, 使得 $$P^{-1}AP=J=mathrm{diag}{J_{r_1}(0),J_{r_2}(0),cdots,J_{r_k}(0)}$$ 为 Jordan 标准型. 下面通过三段论法来证明本题的结论.
Step 1$-$对 Jordan 块 $J_{r_i}(0)$ 进行证明. 注意到 $$e^{J_{r_i}(0)}=I_{r_i}+frac{1}{1!}J_{r_i}(0)+frac{1}{2!}J_{r_i}(0)^2+cdots+frac{1}{(r_i-1)!}J_{r_i}(0)^{r_i-1}$$ $$=egin{pmatrix} 1 & dfrac{1}{1!} & cdots & cdots & dfrac{1}{(r_i-1)!} \ & 1 & dfrac{1}{1!} & & vdots \ & & ddots & ddots & vdots \ & & & ddots & dfrac{1}{1!} \ & & & & 1 \ end{pmatrix},$$ 故 $e^{J_{r_i}(0)}$ 的特征值全为 1, 其几何重数等于 $r_i-r(e^{J_{r_i}(0)}-I_{r_i})=r_i-(r_i-1)=1$. 因此 $e^{J_{r_i}(0)}$ 只有一个 Jordan 块, 其 Jordan 标准型为 $J_{r_i}(1)=I_{r_i}+J_{r_i}(0)$, 即存在非异阵 $Q_i$, 使得 $e^{J_{r_i}(0)}=Q_i(I_{r_i}+J_{r_i}(0))Q_i^{-1}\,(1leq ileq k)$.
Step 2$-$对 Jordan 标准型 $J$ 进行证明. 令 $Q=mathrm{diag}{Q_1,Q_2,cdots,Q_k}$, 则 $Q$ 为非异阵, 满足 $$e^J=mathrm{diag}{e^{J_{r_1}(0)},e^{J_{r_2}(0)},cdots,e^{J_{r_k}(0)}}=Q(I_n+J)Q^{-1}.$$
Step 3$-$对一般的矩阵 $A$ 进行证明. 由 Step 1 和 Step 2 可得: $$e^A=e^{PJP^{-1}}=Pe^JP^{-1}=PQ(I_n+J)Q^{-1}P^{-1}=PQ(I_n+P^{-1}AP)Q^{-1}P^{-1}=(PQP^{-1})(I_n+A)(PQP^{-1})^{-1},$$ 即 $e^A$ 与 $I_n+A$ 相似. $Box$
注 1 在 Step 1 的证明过程中, 也可以用行列式因子或极小多项式的讨论来代替几何重数的讨论, 具体请参考高代白皮书的 $S$ 7.2.6. 另外, 也可以利用高代白皮书的例 7.34 来证明结论 (由成然同学提供).
注 2 本题共有 59 位同学完全做对 (得分在 9$-$10 之间), 分别是 (排名不分先后): 曾世博、张菲诺、刘宇其、阮兆华、孙澍砾、何宇翔、高诚、张崇轩、魏子傅、吴重霖、陈域、郭宇城、许智锟、徐嘉华、赵铃雅、成然、史书珣、林妙可言、时天宇、吴汉、张逸伦、戴逸翔、崔镇涛、朱静静、蒋正浩、张君格、余张伟、魏一鸣、王熙元、林翰峣、刘星瑀、蔡羽桐、王成文健、詹远瞩、韩卓烨、尹尚炜、葛珈玮、张昰昊、朱柏青、张雷、汪子怡、刘俊晨、王炯逍、王嘉辉、方博越、李俊博、张继霖、何瑀、王语姗、钟函廷、漆川烨、尚振航、陈昱嘉、刘子天、李子靖、张嘉璇、熊子恺、李俊康、程梓兼.