CF407B Long Path

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solution

令\(dp[i]\)表示从第一位跳到第\(i\)位，并且此时第\(i\)位有偶数个甜甜圈需要的最小步数，我们假设这个状态是第\(i\)位的目标状态，显然有\(dp[i]+1\)就是从第一位跳到第\(i+1\)为需要的步数。
于是当\(p[i]=i\)时，从\(i-1\)位跳到第\(i\)位后原地跳一次即可到达目标状态，于是

\[dp[i]=dp[i-1]+2 \]

否则，从\(i-1\)位跳到第\(i\)位后会跳回\(p[i]\)处，此时，\(p[i]\)处甜甜圈数量是奇数，而\([p[i]+1,i-1]\)中的所有位置因为之前曾从这里跳到下一位，故甜甜圈数量都是偶数，此时的状态正好与从\(p[i]-1\)跳到\(p[i]\)时的状态相同，于是再次从\(p[i]\)跳到\(i\)需要的步数就是\(dp[i-1]-(dp[p[i]-1]+1)+1\)
加上一开始跳的2步，故

\[dp[i]=dp[i-1]-dp[p[i]-1]+2 \]

于是这道题目就做完了。。。

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mod=1e9+7;
const int N=1e6+10;
int n,p[N],f[N];
inline int add(int x,int y){return (x+y>=mod)?x+y-mod:x+y;}
inline int dec(int x,int y){return (x-y<0)?x-y+mod:x-y;}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;++i)
		scanf("%d",&p[i]);
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(p[i]==i) f[i]=add(f[i-1],2);
		else f[i]=add(add(f[i-1],dec(f[i-1],f[p[i]-1])),2);
	}
	printf("%d\n",f[n]);
	return 0;
}