线性基证明及使用

线性基使用及证明

定义

线性基就是从一堆序列中，构造出一个序列，该序列通过异或组合可以组成原序列的任一一个序列（也就是线性代数所学的极大无关组的异或形式，也可以说是低配极大无关组，所以极大无关组满足的性质其都满足）

性质

性质1

由线性基可以异或出原序列的任一一个数

证明：由原序列求出一个线性基，设一个不在线性基的数为x,x不能被线性基异或得，则x可以插入线性基，则与线性基的定义矛盾，故得证

性质2

线性基中的数异或起来不能产生0

证明：设线性基里由(a_1...a_n) 设(a_{b_1}igoplus a_{b_2}igoplus a_{b_3}=0)那么有(a_{b_1}igoplus a_{b_2} =a_{b_3})所以只需要(a_{b_1} a_{b_2})就可以表示原序列所有的数，所以线性基容量可以缩小，这与极大无关组的定义矛盾，得证

性质3

线性基的向量个数一定

证明 若同一组向量组存在两组线性基(a_{b_1} a_{b_2} a_{b_3})和(a_{c_1} a_{c_2})那么由线性基的定义，第二组线性基可以表示出第一组线性基的所有变量，那么由极大无关组定义，可以把第一组线性基 转换为第二组的线性组合，转化之后，组内相互异或仍然是线性基，所以第一组进行线性组合异或后，必然产生(a_{c_1} a_{c_2},a_{c_2})这种形式的向量组合，所以可以产生异或起来为0的情况，导致性质2不满足，矛盾。扩大的情况同理。所以线性基的向量个数一定
（线代丢好久了，可能证明存在纰漏）

插入

void insert(LL c){
    for (int i=51;i>=0;i--){
        if (c&bit[i]){
            if (!xxj[i]){
                xxj[i]=c;
                break;
            }
            c=c^xxj[i];
        }
    }
}

等于说在模拟一个插入的过程，从高位向低位插入，如果这一位之前没有数，直接插入即可，如果有这异或这个数继续往低位找
为什么是正确的呢 ？ 因为假设这个位还没有数，那么想要表示这个要插入的数，直接把这个数插入线性基即可，如果这个当前最高位有数 那么这一位就可以用这个当前最高位存的数表示出来，把c^{xxj[i]看剩下的位能不能表示继续找即可（因为c=c}xxj[i]^xx[j]))在这个插入过程中异或所发生的变化可以还原回来

合并

暴力一个一个怼就另外一个即可

删除

贵校线性代数没学过吧，有没有大佬教一下？

取最大值

从最高位开始异或即可 如果当前值异或这个值会变大，直接异或即可，这里运用了贪心的思想，因为二进制高位等于前面所以低位取1再加1，所以取高位为1是比所有低位任一组合都赚的。

LL query_max(){
    LL ret=0;
    for (int i=51;i>=0;i--){
        if ((xxj[i]^ret)>ret) ret=ret^xxj[i];
    }
    return ret;
}

xor d最小值

ret=d 扔进query_max()

最小值

和最大值同理，不过是取最小位有值的那个数罢了

第k小

先用一个可以说是标准化的过程，把xxj[i]这一个数的第i位保留，把其他的第i位置成0，然后就可以很方便得求第k小了，例如第一小是最小的i的那个数，第二小 是倒数第二小的i的那个数，第三小就是 第一小第二小异或，有没有发现什么规律，那就是把第k小转化为二进制形式，然后把所以位数为1的进行异或即可

void rebuild()
{
    for (int i=60;i>=0;i--)
        for (int j=i-1;j>=0;j--)
            if (d[i]&(1LL<<j))
                d[i]^=d[j];
    for (int i=0;i<=60;i++)
        if (d[i])
            p[cnt++]=d[i];
}
long long kthquery(long long k)
{
    int ret=0;
    if (k>=(1LL<<cnt))
        return -1;
    for (int i=60;i>=0;i--)
        if (k&(1LL<<i))
            ret^=p[i];
    return ret;
}

Reference

代码来源及参考：
https://www.cnblogs.com/Michael-Li/p/8734708.html
证明启发：
https://blog.csdn.net/a_forever_dream/article/details/83654397
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