置换

置换

定义 集合 X 的置换是 X 到其自身的双射。

n个元素的集合X恰有 n! 个置换。

置换也可看成集合 X 中元素的重排。

比如 {1, 2, 3} 的重排有：

123；132；213；231；312；321

X的一次重排i_1，i_2，...，i_n确定了一个函数alpha:X->X，即：

alpha(i) = i_1，alpha(2) = i_2， ...，alpha(n) = i_n。

例如重排213对应的函数alpha是：

alpha(1) = 2，alpha(2) = 1，alpha(3) = 3。

自变量就是下标1，2，...，n；函数值则是下标对应的元素。

这里用函数的观点来表达重排的概念，还是比较好理解的。

这个函数有如下特点：

• 函数中包括了X中的所有元素，即alpha是一个满射
• 无重复元素说明了不同的点有不同的值，alpha是一个单射
• 因此，alpha是一个双射alpha：X->X

把置换看做函数的好处是可以对它们进行复合，置换的复合仍是置换（需要证明）。

对称群

引出对称群的概念

定义 称集合X的全体置换的族为X上的对称群，记为S_X。当X={1,2,...,n}时，常用S_n来记S_X，并称之为n个字母上的对称群。

看到这里来有点懵逼了，怎么一下子来了个对称群？先不纠结这个了。其实可以这样，就是把集合上的所有置换取了一个名字而已。

beta · alpha是函数的复合操作，只不过这里要注意的是运算顺序是从左至右的，先算alpha，然后再算beta。

S_3中的复合是不交换的（会举例说明）。

两个置换可以交换么？

一个置换的平方是恒等函数吗？（我猜这里的平方是进行两次相同的操作，比如原来是beta · alpha这种复合操作，然后平方就是alpha· alpha）

轮换

上一个部分留了几个问题，直接去想这几个问题有难度，这里进而引入了轮换的概念。

定义 设i_1,i_2,...,i_r是{1,2,...,n}中的不同整数。如果alpha属于S_n固定其他整数（如果有的话），且

alpha(i_1) = i_2，alpha(i_2) = i_3，...，alpha(i_r-1) = i_r，alpha(i_r) = i_1，

则称alpha为一个r-轮换，也称alpha为长r的轮换，记为

alpha = (i_1i_2...i_r)

第一眼看的话肯定会懵逼，这他妈的是啥？

轮换其实是一种特殊的置换，集合中的元素重排的是时候会遵循一种循环。

2-轮换把i_1和i_2对调而其余的不动，2-轮换也叫对换。

1-轮换是恒等函数，因为它们固定每个i。

轮换中的任一i_j可以作为起点，因此任一r-轮换有r中不同的轮换记号：

(i_1i_2...i_r) = (i_2i_3...i_ri_1) = ... = (i_ri_1i_2...i_r-1)。

轮换的作用是，可以把置换分解成轮换乘积，就问你屌不屌。

不相交

之前就说过，轮换其实即使一种特殊的置换，因为你可以固定其他的元素，而只有r-轮换，这样不就补全成为了一个置换么。

定义 称两个置换alpha，beta属于S_n不相交，如果每个i被一个移动而被另一个固定：如果alpha(i) != i，则beta(i)=i，且如果beta(j) != j，则alpha(j) = j。称置换族beta_1，...，beta_t不相交，如果它们两两不相交。

为啥他喵的要引入不相交的概念？

紧接着证明就来了

引理 不相交的置换alpha，beta是可以交换的。

休息一会，要炸了

命题 每个置换alpha属于S_n，不是一个轮换就是不相交轮换的乘积。