CodeForces 604D 【离散数学 置换群】

题意：

给你一个方程，方程太变态不打，给你一个p一个k，p保证是大于等于3的质数，k保证在0~p-1之间的整数。要求对应函数的定义域在0~p-1值域为0~p-1的子集，求这样的函数有多少个...

分析：

【今天刚迷迷糊糊听了节集合论，做着做着就发现好像是循环群还是啥==】

k=0时，不难发现f(0)=0，其他任意。

k=1时，f(0)=f(0) mod p,发现除了其他任意外f(0)也任意。

当k>=2时，发现某规律...

不难发现假如k=2，则f(2)根据f(1)，f(4)根据f(2)...以此类推，直到mod运算之后再次成为1...

所以很多组的值是根据其中某一个函数的值的变化而变化...所以发现了某规律（应该是可以证明推导的）

规律是这样的，发现<k>（这个符号的解释看离散数学==）的阶数就是将定义域划分的依据（这个应该是可以通过某著名定理推导出来，屌丝只是发现规律了）...

好的，最后这道题变成一道规律题了（学渣痛痛痛）

除了0外，定义域可以划分成w组，每组里边有<k>的阶个数字。剩下的事情就是排列组合一下，写一个快速幂求解...

反思：

这题反映了我这种学渣分析问题不全面，虽然1A但是交了之后才发现有个地方的验证自己忽略了...

代码：

#include<stdio.h>
int main()
{
    int p,k;
    int n=1e9+7;
    scanf("%d%d",&p,&k);
    if(k==0)
    {
        long long tmp=p,r=1;
        p--;
        while(p)
        {
            if(p&1)
            {
                r=r*tmp%n;
            }
            tmp=tmp*tmp%n;
            p>>=1;
        }
        printf("%I64d
",r);
    }
    else if(k==1)
    {
        long long tmp=p,r=1;
        while(p)
        {
            if(p&1)
            {
                r=r*tmp%n;
            }
            tmp=tmp*tmp%n;
            p>>=1;
        }
        printf("%I64d
",r);
    }
    else
    {
        long long tmp=1;
        long long ans;
        for(int i=1;;i++)
        {
            tmp=(tmp*k)%p;
            if(tmp==1)
            {
                ans=i;
                break;
            }
        }
        long long r=1;
        tmp=p;
        p=(p-1)/ans;
        while(p)
        {
            if(p&1)
            {
                r=r*tmp%n;
            }
            tmp=tmp*tmp%n;
            p>>=1;
        }
        printf("%I64d
",r);
    }
}