定理1:奇数的平方模4余0,偶数的平方模4余1.
证明:不妨设偶数为2n,奇数的平方为2n+1.
(2n)^2=4n^2,(2n+1)^2=4n(n+1)+1.
OVER.
定理2:四个连续自然数的平方+1=奇数的平方。
证明:设这4个连续自然数为 x,x+1,x+2,x+3.
x(x+1)(x+2)(x+3)+1
=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1
=(x^2+3x+1)^2
下面证明x^2+3x+1一定为奇数:
x(x+3) 必定一奇一偶,因为3是奇数,而奇数有特性“+奇变性”(奇+奇=偶,偶+奇=奇)。
奇*偶=偶,所以,x(x+3)必定为偶,x(x+3)+1为奇数。