有时我想：人为什么会喜新厌旧？难道不知新的总会变成旧的。又想：人为什么忽略过程只求结果？难道不知一切结果也都是虚幻的。人能把握的只有现在、此刻正在经历的点点滴滴。所以走路时千万不要忘记看风景，有时良辰美景也只是惊鸿一瞥，如果一味向前冲，早晚会为自己的鲁莽而后悔。最好的不一定总在前面，回忆往事，最好的也许就是今天、此刻的限量版。所以不用为什么远大目的而奔忙，即刻享受当下吧。
今天学习另一种分类算法SVM（Support Vector Machine，支持向量机），它的目的是最大化分类间隔，间隔是指分离决策边界与离之最近的训练样本点之间的距离。
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线性可分和线性分类器
对于一个二分类问题，如果存在至少一个超平面能够将不同类别的样本分开，我们就说这些样本是线性可分的（linear separable）。所谓超平面，就是一个比原特征空间少一个维度的子空间，在二维情况下就是一条直线（注意不能是曲线），在三维情况下就是一个平面。
线性分类器（linear classifier）是一类通过将样本特征进行线性组合来作出分类决策的算法，它的目标就是找到一个如上所述能够分割不同类别样本的超平面。这样在预测的时候，我们就可以根据样本位于超平面的哪一边来作出决策。
用数学语言来描述，一个线性函数可以简单表示为：f(x)=wTx+b，而线性分类器则根据线性函数的结果进行分类决策：y=g(f(x))=g(wTx+b)
其中g(⋅)是一个将变量映射到不同类别的非线性函数，可以简单取为：
即分类的结果由 f(x) 的符号决定，f(x)=wTx+b＝0即为分类超平面。
下图展示了几个线性可分／不可分的例子，并且画出了一个可能的分类超平面：
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最大化间隔
在样本线性可分的情况下，可行的分类超平面可能会有很多，如下图的L1、L2和L3。
那么怎么选择一个最好的呢？从上图我们可以直观看出，L2比另外两条分界线要更好，这是因为L2离样本的距离更远一些，让人觉得确信度更高。这好比人（相当于样本）站在离悬崖边（分类边界）越远，人就会感到越安全（分类结果是安全还是危险）。从统计的角度讲，由于正负样本可以看作从两个不同的分布随机抽样而得，若分类边界与两个分布的距离越大，抽样出的样本落在分类边界另一边的概率就会越小。
SVM正是基于这种直观思路来确定最佳分类超平面的：通过选取能够最大化类间间隔的超平面，得到一个具有高确信度和泛化能力的分类器，即最大间隔分类器。
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间隔
既然SVM的目标是最大化间隔，我们便要先对“间隔”进行定义。所谓间隔，就是分类超平面与所有样本距离的最小值，表示为：
其中l表示分类超平面，N为样本个数，xi为第i个样本。接下来我们还需要定义样本到超平面的“距离” dist(l,x)。
假设任意一个样本点x0，其在分类超平面上的投影记作。对于分类超平面wTx+b=0，我们知道他的法向量是w，法向量方向的单位向量可以由法向量除以其模长所得：
。我们将dist(l,xi)记为d（d≥0），则可以得到：
等式两边同时左乘wT并加上b，并且利用超平面上的点+b=0的性质，我们可以得到：
记y∈{−1,1}为分类标签，由于y(wTx+b)=∣wTx+b∣，我们可以以此消去上式的绝对值。
综上所述，我们可以得到对于分类超平面l和N个样本xi的“间隔”的表达式：
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最大化
有了上述定义的间隔，接下来的事情就很直接了——求解能使间隔最大化的参数w和b，即求解以下优化函数：
令，上述优化函数也可以写成如下等价的形式：
其中第二行的约束条件是为了满足对“间隔”的定义。下面我们来做一些数学上的小变换，使形式更为简洁。
我们定义，则目标函数可写成：
，约束条件可写成：
，i=1,2,...,N。再用w替换
，b替换
，并且利用
与
等价的原理，可以得到以下下等价的优化问题：
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松弛变量
以上我们都只关心一个目的：寻找能够最大化间隔的分类超平面。然而，由于样本点中异常点的存在，只考虑这一个因素往往无法得到一个最佳的分类器。我们来看下图的例子：
从上图可以看出：若我们严格遵守“间隔”的限制，由于蓝色异常点的存在，最终只能得到一个间隔很小的分类超平面。反之，如果我们能够放宽对于间隔的限制，便可以一定程度的忽略异常点的影响，反而能得到间隔更大的分类超平面。
上述容忍异常点的思路可以通过引入“松弛变量”（slack variable）实现。在原优化问题中，我们对“间隔”的限制表现在 yi(wTxi+b)≥1, i=1,2,...,N 当中。为了放宽对此的限制，我们对每个样本引入其对应的松弛变量 ζi (ζi≥0)，则限制条件变为：yi(wTxi+b)≥1−ζi, i=1,2,...,N。
从上式可以看出，若样本点xi不是异常点（满足 yi(wTxi+b)≥1），则其松弛变量ζi=0，与原限制一样。若样本点xi是异常点，只要ζi足够大，限制条件便能满足，分类超平面（由w、b决定）不受影响。直观上讲，ζi等于将异常点“拉”回原间隔处所需要移动的距离，如下图所示：
松弛变量的引入有助于增强模型对异常点的容忍能力，还能解决一定的数据线性不可分的问题。然而，如果不对松弛变量进行限制，得到的分类器又会变得没有用处（大量的错误分类）。因此，我们需要同时对两个目标进行优化：最大化间隔和容忍异常样本，并且引入一个平衡参数 C （C≥0）来衡量这两个方面的重要程度。引入松弛变量后的完整优化问题如下：
最后，我们再来分析一下平衡参数 C 对求得分类超平面的影响。
C 取无穷：ζi只能为零，代表无法容忍任何误判样本的出现，即严格遵守“间隔”的限制，得到没有引入松弛变量时的分类超平面
C取零：ζi可以任意大，即任何误判结果都可以被容忍，得到分类超平面没有意义
C较大：ζi不能很大，因此限制条件难以被忽略，会得到较为狭窄间隔的分类超平面
C较小：ζi影响较小，因此限制条件可以被忽略，会得到较为宽间隔的分类超平面
下周学习如何在scikit-learn中使用SVM分类器，敬请期待：）