【题解】CF#229 E-Gifts

　　尽管是一道E题，但真心并不很难~不难发现，有一些物品是一定要被选择的，我们所需要决策的仅仅只有那几个有重复价值的物品。

　　而不同名字之间的概率并不互相影响，所以我们有 (f[i][j]) 表示名字为 (i) 的物品呼唤 (j) 次恰好获得前 (j) 大的价值的物品的概率。转移方程为：

　(f[i][j] = f[i][j - 1] * j * frac{1}{a[i][0]−j+1})

为什么要(*j) 呢？因为这第 (j) 个物品的排列顺序并不是固定的。

　　要把这 (n) 个物品结合起来，我们可以再建立一个 dp 数组，(g[i][[j]) 表示前 (i) 个名字中，呼唤得到恰好 (j) 个有重复价值的物品。我们有转移方程：

　(g[i][j] = sum g[i - 1][j - 1] * f[i][rec[j] +1])

与 (g[i][j] = sum g[i - 1][j] * f[i][rec[i]])

以上两个分别表示当前名字是否呼唤到一个重复价值的物品。

　　有没有感觉到有什么不对？没错，在计算的时候，我们的 (f[i][k]) 前面是没有带系数的，也就是我们并没有去统计以这样的方式去呼唤的概率是多少。但题目中明确说明当有几种可能呼唤到最高价值的物品时，我们会等概率的任选一种。所以我们可以考虑算出总的方案数 (c[i][j]) ，然后再除去这个方案数，即 (ans =frac{g[m][cnt]}{c[m][cnt]})。这个的转移很简单，可以看一下代码。表面 (n ^{3}) ，但第二维的枚举总数限定了范围，所以完全可以承受。

　　不过我也很好奇……为什么 (c[i][j]) 一定要开 double 类型呢？不开就WA了……求解释呀，有知道的还请回复我，私信也可以呀！感激不尽QAQ

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define maxn 2500
#define db long double
int n, m, tot, cnt, rec[maxn];
int a[maxn][maxn], b[maxn];
db f[maxn][maxn], g[maxn][maxn], c[maxn][maxn];

int read()
{
    int x = 0, k = 1;
    char c; c = getchar();
    while(c < '0' || c > '9') { if(c == '-') k = -1; c = getchar(); }
    while(c >= '0' && c <= '9') x = x * 10 + c - '0', c = getchar();
    return x * k;
}

bool cmp(int x, int y) { return x > y; }
void Up(db &x, db y) { x = x + y; }

int main()
{
    n = read(), m = read();
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        a[i][0] = read();
        for(int j = 1; j <= a[i][0]; j ++)
            a[i][j] = read(), b[++ tot] = a[i][j];
        sort(a[i] + 1, a[i] + 1 + a[i][0], cmp);
    }
    sort(b + 1, b + 1 + tot, cmp);
    for(int i = n; i; i --)
        if(b[i] == b[i - 1]) cnt ++;
        else break;
    cnt += 1; int K = b[n]; c[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
    {
        f[i][0] = 1;
        for(int j = 1; j <= a[i][0]; j ++)
        {
            if(a[i][j] < K) break; 
            if(a[i][j] > K) rec[i] = j;
            f[i][j] = (db) f[i][j - 1] * (db) j * ((db) 1 / (db) (a[i][0] - j + 1));
        }
    }
    for(int i = 1, tem = 0, up = 0; i <= m; i ++)
    {
        int r1 = 0;
        for(int j = 0; j <= up; j ++) c[i][j] = c[i - 1][j]; 
        for(int j = rec[i] + 1; j <= a[i][0]; j ++)
        {
            if(a[i][j] < K) break;
            int t = j - rec[i]; r1 ++;  
            for(int k = 0; k <= up; k ++)
                c[i][k + t] = (c[i][k + t] + c[i - 1][k]);
        }
        up += r1;
    }
    g[0][0] = 1;
    for(int i = 1; i <= m; i ++)
        for(int j = 0; j <= cnt; j ++)
        {
            if(j) Up(g[i][j], g[i - 1][j - 1] * f[i][rec[i] + 1]);
            Up(g[i][j], g[i - 1][j] * f[i][rec[i]]);
        }
    cout << fixed << setprecision(10) << (g[m][cnt] / (db) c[m][cnt]) << endl;
    return 0;
}