蚁群算法求解TSP问题

一、蚁群算法简介

    蚁群算法是对自然界蚂蚁的寻径方式进行模似而得出的一种仿生算法：蚂蚁在运动过程中，能够在它所经过的路径上留下信息素(pheromone)的物质进行信息传递，而且蚂蚁在运动过程中能够感知这种物质，并以此指导自己的运动方向。由大量蚂蚁组成的蚁群集体行为便表现出一种信息正反馈现象：某一路径上走过的蚂蚁越多，则后来者选择该路径的概率就越大。蚁群算法具有分布计算、信息正反馈和启发式搜索的特征，本质上是进化算法中的一种启发式全局优化算法。

二、TSP问题（旅行商问题）

   T S P 问 题 可 以 用 一 个 带 权 完 全 图G=(N,A)来表示，其中N是带有n=|N|点（城市）的集合，A是完全连接这些点的边的集合。每一条边（i,j）属于A都带有一个权值，它代表城市i与城市j之间的距离。TSP问题就是要找到图中的最短哈密尔顿回路。

1、构建图：构建图与问题描述图是一致的，成份的集合C对应着点的集合（即：C=N），连接对应着边的集合（即L=A）,且每一条边都带有一个权值，代表点i和j之间的距离。
2、约束条件：所有城市都要被访问且每个城市最多只能被访问一次。
3、信息素和启发式信息：TSP 问题中的信息素表示在访问城市i后直接访问城市j的期望度。启发式信息值一般与城市i和城市j的距离成反比。
4、解的构建：每只蚂蚁最初都从随机选择出来的城市出发，每经过一次迭代蚂蚁就向解中添加一个还没有访问过的城市。当所有城市都被蚂蚁访问过之后，解的构建就终止。

 三、实现流程及伪代码

         

 四、代码实现

随机生成50个城市进行测试，初始蚂蚁数量为50，信息素重要程度因子alpha = 1，启发函数重要程度因子beta = 5，信息素挥发因子rho = 0.1，最大迭代次数为150

%% 旅行商问题(TSP)优化
%% 清空环境变量
clear all
clc

%% 导入数据
%load citys_data.mat
city = ceil(rand(50,2) * 5000)
load city.mat
%% 计算城市间相互距离
fprintf('Computing Distance Matrix... 
');
n = size(city,1);
D = zeros(n,n);
for i = 1:n
    for j = 1:n
        if i ~= j
            D(i,j) = sqrt(sum((city(i,:) - city(j,:)).^2));
        else
            D(i,j) = 1e-4;      
        end
    end    
end

%% 初始化参数
fprintf('Initializing Parameters... 
');
m = 50;                              % 蚂蚁数量
alpha = 1;                           % 信息素重要程度因子
beta = 5;                            % 启发函数重要程度因子
rho = 0.1;                           % 信息素挥发因子
Q = 1;                               % 常系数
Eta = 1./D;                          % 启发函数
Tau = ones(n,n);                     % 信息素矩阵
Table = zeros(m,n);                  % 路径记录表
iter = 1;                            % 迭代次数初值
iter_max = 150;                      % 最大迭代次数 
Route_best = zeros(iter_max,n);      % 各代最佳路径       
Length_best = zeros(iter_max,1);     % 各代最佳路径的长度  
Length_ave = zeros(iter_max,1);      % 各代路径的平均长度  

%% 迭代寻找最佳路径
figure;
while iter <= iter_max
    fprintf('迭代第%d次
',iter);
    % 随机产生各个蚂蚁的起点城市
      start = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          temp = randperm(n);
          start(i) = temp(1);
      end
      Table(:,1) = start; 
      % 构建解空间
      city_index = 1:n;
      % 逐个蚂蚁路径选择
      for i = 1:m
          % 逐个城市路径选择
         for j = 2:n
             tabu = Table(i,1:(j - 1));           % 已访问的城市集合(禁忌表)
             allow_index = ~ismember(city_index,tabu);
             allow = city_index(allow_index);  % 待访问的城市集合
             P = allow;
             % 计算城市间转移概率
             for k = 1:length(allow)
                 P(k) = Tau(tabu(end),allow(k))^alpha * Eta(tabu(end),allow(k))^beta;
             end
             P = P/sum(P);
             % 轮盘赌法选择下一个访问城市
             Pc = cumsum(P);     
            target_index = find(Pc >= rand); 
            target = allow(target_index(1));
            Table(i,j) = target;
         end
      end
      % 计算各个蚂蚁的路径距离
      Length = zeros(m,1);
      for i = 1:m
          Route = Table(i,:);
          for j = 1:(n - 1)
              Length(i) = Length(i) + D(Route(j),Route(j + 1));
          end
          Length(i) = Length(i) + D(Route(n),Route(1));
      end
      % 计算最短路径距离及平均距离
      if iter == 1
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min_Length;  
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
      else
          [min_Length,min_index] = min(Length);
          Length_best(iter) = min(Length_best(iter - 1),min_Length);
          Length_ave(iter) = mean(Length);
          if Length_best(iter) == min_Length
              Route_best(iter,:) = Table(min_index,:);
          else
              Route_best(iter,:) = Route_best((iter-1),:);
          end
      end
      % 更新信息素
      Delta_Tau = zeros(n,n);
      % 逐个蚂蚁计算
      for i = 1:m
          % 逐个城市计算
          for j = 1:(n - 1)
              Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) = Delta_Tau(Table(i,j),Table(i,j+1)) + Q/Length(i);
          end
          Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) = Delta_Tau(Table(i,n),Table(i,1)) + Q/Length(i);
      end
      Tau = (1-rho) * Tau + Delta_Tau;
    % 迭代次数加1，清空路径记录表

 %   figure;
 %最佳路径的迭代变化过程
    [Shortest_Length,index] = min(Length_best(1:iter));
    Shortest_Route = Route_best(index,:);
    plot([city(Shortest_Route,1);city(Shortest_Route(1),1)],...
    [city(Shortest_Route,2);city(Shortest_Route(1),2)],'o-');
    pause(0.3);
 
    iter = iter + 1;
    Table = zeros(m,n);

 % end
end

%% 结果显示
[Shortest_Length,index] = min(Length_best);
Shortest_Route = Route_best(index,:);
disp(['最短距离:' num2str(Shortest_Length)]);
disp(['最短路径:' num2str([Shortest_Route Shortest_Route(1)])]);

%% 绘图
figure(1)
plot([city(Shortest_Route,1);city(Shortest_Route(1),1)],...
     [city(Shortest_Route,2);city(Shortest_Route(1),2)],'o-');
grid on
for i = 1:size(city,1)
    text(city(i,1),city(i,2),['   ' num2str(i)]);
end
text(city(Shortest_Route(1),1),city(Shortest_Route(1),2),'       起点');
text(city(Shortest_Route(end),1),city(Shortest_Route(end),2),'       终点');
xlabel('城市位置横坐标')
ylabel('城市位置纵坐标')
title(['蚁群算法优化路径(最短距离:' num2str(Shortest_Length) ')'])
figure(2)
plot(1:iter_max,Length_best,'b',1:iter_max,Length_ave,'r:')
legend('最短距离','平均距离')
xlabel('迭代次数')
ylabel('距离')
title('各代最短距离与平均距离对比')

五、实验结果：

5.1随机生成的50个城市坐标

 

 实验数据1：蚂蚁数量为50，信息素重要程度因子alpha = 1，启发函数重要程度因子beta = 5，信息素挥发因子rho = 0.1，最大迭代次数为150

 

 

 实验数据2：其他数据不变，信息素挥发因子rho = 0.5

 实验数据3：其他数据不变，启发函数重要程度因子beta = 3，

 

 实验数据4：其他数据不变，启发函数重要程度因子beta = 7

 实验数据5：其他数据不变，信息素重要程度因子alpha = 4

六、结果分析与总结

1、 蚂蚁数量、信息素重要程度因子、启发函数重要程度因子beta、最大迭代次数相同时，rho=0.1与rho=0.5
 rho=0.1时，城市序列的起点为39，终点为46。在最短距离的迭代中，迭代次数约为10时，各代的最短距离趋于平缓。当将信息素挥发因子调整为0.5时，可以发现当信息素增大后，最短距离变小，迭代次数约为40时，各代的最短距离就已经趋于平缓。虽然信息素的挥发速度越来越快，但是寻找到的最短路径反而比之前的更短，当rho过小时，未被选中的路径上的信息素量将迅速衰减，容易陷入局部最优，算法的收敛性加大。另外，当rho过大时，被选中的路径上的信息素量增量减小，搜索空间变大，这样算法虽然陷入局部最优的可能性减小，但是算法的收敛性降低。

2、Bete=5与Bete=3、bete=7
 当其他因素不变，bete改为3时，发现最短距离变小，且城市序列的起点为9，终点为33。bete=5时，在最短距离的迭代中，在大概10代的时候有一个急剧的减少。但在bete=3时没有极具的下降。在bete=7，迭代过程中开始时就趋于平缓。bete的值反映了启发式信息在指导蚂蚁搜索过程中的重要程度。Bete过小，蚁群陷入随机搜索，就很难找到最优解。Bete过大，蚂蚁在某个局部点上选择局部最短路径的可能性也就越大，但蚁群搜索最优路径的随机性就减弱，容易陷入局部最优。

3、alpha=1与alpha=4
 当alpha=1时，在最短距离的迭代中，迭代次数约为10时，各代的最短距离趋于平缓。当alpha=4时，城市序列起点是7，终点是24，最短距离有所增大，但各代的最短距离的迭代趋势和alpha=1时差不多。迭代次数在40-55之间时，平均距离有急剧下降的现象而后逐渐趋于平缓。所以，alpha的值越大，蚂蚁选择以前走过的路径的可能性就越大，搜索的随机性就减弱，算法也会早收敛。