问题描述:
字符序列的子序列是指从给定字符序列中随意地(不一定连续)去掉若干个字符(可能一个也不去掉)后所形成的字符序列。令给定的字符序列X=“x0,x1,…,xm-1”,序列Y=“y0,y1,…,yk-1”是X的子序列,存在X的一个严格递增下标序列<i0,i1,…,ik-1>,使得对所有的j=0,1,…,k-1,有xij=yj。例如,X=“ABCBDAB”,Y=“BCDB”是X的一个子序列。
考虑最长公共子序列问题如何分解成子问题,设A=“a0,a1,…,am-1”,B=“b0,b1,…,bm-1”,并Z=“z0,z1,…,zk-1”为它们的最长公共子序列。不难证明有以下性质:
(1) 如果am-1=bn-1,则zk-1=am-1=bn-1,且“z0,z1,…,zk-2”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列;
(2) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=am-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列;
(3) 如果am-1!=bn-1,则若zk-1!=bn-1,蕴涵“z0,z1,…,zk-1”是“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列。
这样,在找A和B的公共子序列时,如有am-1=bn-1,则进一步解决一个子问题,找“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bm-2”的一个最长公共子序列;如果am-1!=bn-1,则要解决两个子问题,找出“a0,a1,…,am-2”和“b0,b1,…,bn-1”的一个最长公共子序列和找出“a0,a1,…,am-1”和“b0,b1,…,bn-2”的一个最长公共子序列,再取两者中较长者作为A和B的最长公共子序列。
求解:
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
求解:
引进一个二维数组c[][],用c[i][j]记录X[i]与Y[j] 的LCS 的长度,b[i][j]记录c[i][j]是通过哪一个子问题的值求得的,以决定搜索的方向。
我们是自底向上进行递推计算,那么在计算c[i,j]之前,c[i-1][j-1],c[i-1][j]与c[i][j-1]均已计算出来。此时我们根据X[i] = Y[j]还是X[i] != Y[j],就可以计算出c[i][j]。
问题的递归式写成:
回溯输出最长公共子序列过程:
//最长公共子序列 //采用动态规划求解 //... #include <iostream> #include <string> #include <algorithm> #define CIRI_(i, a) for(int i = 0; i <= a; ++i) #define CIRJ_(j, b) for(int j = 0; j <= b; ++j) const int MAXN = 100; int C[MAXN][MAXN], B[MAXN][MAXN]; int M, N; char s1[MAXN], s2[MAXN]; using namespace std; void Print_(int b[][MAXN], int x, int y) { if(x == 0|| y == 0) return; if(b[x][y] == 0){ Print_(b, x-1, y-1); cout<<s1[x-1]; } else if(b[x][y] == 1){ Print_(b, x-1, y); } else { Print_(b, x, y-1); } } int main() { // freopen("F:\input.txt", "r", stdin); cin>>M>>N; cin>>s1>>s2; CIRI_(i, M) CIRJ_(j, N) { C[i][0] = 0; C[0][j] = 0; } for(int i = 1; i <= M; ++i){ for(int j = 1; j <= N; ++j) { if(s1[i-1] == s2[j-1]) { C[i][j] = C[i-1][j-1] + 1; B[i][j] = 0;} else if(C[i-1][j] >= C[i][j-1]) { C[i][j] = C[i-1][j]; B[i][j] = 1;} else { C[i][j] = C[i][j-1]; B[i][j] = -1;} } } CIRI_(i, M) CIRJ_(j, N) { cout<<C[i][j]; if((j+1)%(N+1) == 0) cout<< endl; } // cout<< "****************"<<endl; CIRI_(i, M) CIRJ_(j, N) { cout<<B[i][j]; if((j+1)%(N+1) == 0) cout<< endl; } Print_(B, M, N); return 0; }