由祖冲之圆周率洞悉——古中国数学家的计算力真是惊人

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　　现代数学是建立在公理化的体系之上，可以认为是形而上学。公理化是数学的本质所在，古代中国人建立过数学的辉煌，但是却似乎并没有去思考数学的本质，而古希腊的《几何原本》是人类有史以来记载的最早数学往公理化方向努力，尽管《几何原本》中存在着公理的不完备，证明过程中依然有”想当然“的成分，比如直线上除某点之外的一点（几何原本中并没有公理支持直线上除了某点之外还可以取一点），但是往公理化运行的这个历史意义巨大。

　　很长时间，我都不太认为古代数学有哪些惊人，只是还知道勾股定理，杨辉三角，以及祖冲之算圆周率等。

　　今天老婆问我圆周率怎么算的，我就想了想。虽然圆周率可以有一堆无穷级数或者无穷乘积可以表示，我还是选择了用最简单的方式来回答，于是就直接行动起来吧。

　　选择一个单位圆，x²+y²=1，它的面积就是pi，于是用微积分逼近的方法来做，分成n等分，然后用上和或者下和逼近。当然要考虑精度问题，所以还是用上bc这个任意精度计算器，这个计算器我一直很喜欢使用，一边跟老婆解释一边写程序，程序很快写完。

scale = 12;/*所有计算精度小数点后12位*/
n = 10^6;/*单位圆切200万刀，y轴左右各100万刀*/
pi = 0;/*上和累计初始值为0*/
for(i=0;i<n;i++) {
        x = i/n;/*x坐标*/
        y = sqrt(1-x^2);/*y坐标*/
        s = 4*y/n;/*此块上和，4个象限对称4份*/
        pi = pi+s;/*累和进去*/
}
print "pi = ", pi, "
";/*最终打印出累和出来的圆周率*/

　　用bc运行一下，我的虚拟机24秒后有了结果。

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# time bc <2 pi = 3.141594151717   real    0m24.015s user    0m24.006s sys     0m0.008s

　　结果并不是很理想，计算精度12位其实只是影响了一点点累和时的精度问题，完全不是祖冲之的3.14159265级别的问题。

　　于是换条路吧，祖冲之的割圆术应该是对周长的，于是我就分它个2¹⁵=32768份，成为一个32768边形，边长其实是2*sin(2*pi/32768),我们就来算这个值吧。sin(2x)=2sin(x)*cos(x)，因为是锐角，可算出sin(x)=sqrt((1-sqrt(1-cos(2x)*cos(2x)))/2)。

　　继续用bc来写，

n=13;/*从圆的内接正方形开始，开始对切13次*/
scale=20;/*纪念20位足够*/
s=sqrt(2)/2;/*sin(pi/4)*/
for(i=0;i<n;i++) {
        s = sqrt((1-sqrt(1-s^2))/2);/*一个个的推*/
}
print "pi = ", 4*s*2^n, "
";/*打印圆周率*/

　　运行一下，这次对于计算机就很快了，长度法比面积法靠谱，

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# time bc <3 p = 3.14159264877598965760   real    0m0.007s user    0m0.004s sys     0m0.004s

　　可是，精度还差那么一点，看来应该多切一刀，把程序中的n改成14,精度符合要求。

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# time bc <3 p = 3.14159265238350561280   real    0m0.005s user    0m0.000s sys     0m0.004s

　　

　　这样的开平方运算用手算是很复杂的，参考我的博文《平方根的C语言实现(二) —— 手算平方根的原理》，我无法想像祖冲之如何面对这么复杂的运算的。中国古人虽然可能对于数学的基本原理没有做深层次的考虑（不排除以前考虑过，但资料丢失的可能，毕竟经过了嬴政和刘彻和那么多的朝代），但至少古人的计算能力真的是很让人震撼。