sb的斜率优化笔记

参考资料

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[HNOI2008]玩具装箱

设 S[i] = Σ_1≤i≤n (C[i] + 1)， 设状态 dp[i] 表示装好前 i 个， 值为最小花费， 则转移为：
dp[i] = min_0≤j<i {dp[j] + (S[i]-S[j]-1-L)²} 。

化简 (S[i]-S[j]-1-L)² ：将常量 L 加一， 变成 (S[i]-S[j]-L)²， 而后变成 S[i]² + (S[j] + L)² - 2S[i]S[j] - 2S[i]L。

最后方程化简为 ：dp[i] = min_0≤j<i {dp[j] + S[i]² + (S[j] + L)² - 2S[i]S[j] - 2S[i]L} ， 是 dp[i] = min/max {a(i) + b(j) + c(i) × d(j)} 的形式。

看上去很 NB 的代数法

考虑 dp[i] 的两个决策点 j₁ < j₂， 假设 j₂ 优于 j₁， 可得：

(-2S[i]S[j₂]) + (dp[j₂] + (S[j₂] + L)²) ≤ (-2S[i]S[j₁]) + (dp[j₁] + (S[j₁] + L)²)

继续化简：

-2S[i] (S[j₂] - S[j₁]) ≤ (dp[j₁] + (S[j₁] + L)²) - (dp[j₂] + (S[j₂] + L)²)

由于 S[j₂] > S[j₁]， 故可除：

2S[i] ≥ (dfrac{(dp[j_2]+(S[j_2]+L)^2) - (dp[j_1]+(S[j_1]+L)^2)}{S[j_2]-S[j_1]})

若有 j₂ > j₁， 就可以通过判断这个东西是否成立来判断 j₂ 这个决策点是不是优于 j₁ 这个决策点。

然后设 X(i) = S[i], Y(i) = dp[i] + (S[i] + L)²， 再设 P(i) = (X(i), Y(i)) （平面直角坐标系上的一个点）， 问题就是在平面直角坐标系上的一个斜率判定问题。

考虑一个只有三个点的上凸包， 可知不论怎样，用上面那个结论可观测到的有效决策集合是原决策集合的下凸包。具体推理见参考资料

线性规划法

复习下形式：dp[i] = min/max {a(i) + b(j) + c(i) × d(j)}

这种线性规划法就是把某个决策点 j 的转移，即 dp[i] = a(i) + b(j) + c(i) × d(j)， 在某个来自西方的神秘二维结构（即平面直角坐标系）上以某种方式展开， 然后转化为在这个二维结构上的最优化问题。

具体地， 先将除了 dp[i] 的东西以 ' 标示之， 记为常量：

dp[i] = a(i)' + b(j) + c(i)' × d(j)

然后将式子化成：

b(j) = -c(i)' × d(j) - a(i)' + dp[i]

然后现在的问题就是将所有决策点看成 (d(j),b(j))， 然后把一个斜率为 -c(i)' 的直线对齐每个点， 找出最小的截距。

发现上凸包是不存在的， 维护决策点的下凸包即可。

两种方法的评价

线性规划 >>> 代数法，降维打击！