Fibonacci数列通项公式

通常方法

F[0]=0, F[1]=1, F[n]=F[n-1]+F[n-2] (n>1)

改写为简单的形式：F[n] = F[n-1] + F[n-2] + [n=1]

采用机械方法得到封闭形式：

[egin{align} sum_nF[n]x^n &= sum_nF[n-1]x^n + sum_nF[n-2]x^n + sum_n[n=1]x^n\ F(x) &= xF(x) + x^2F(x) + x\ F(x) &= frac x{1-x-x^2} end{align} ]

考虑将其写成若干个 (dfrac1{1-cx^k}) 的和， 为此将分母因式分解：

解 (1-x-x^2 = 0) 得 (x_1 = -dfrac{1 + sqrt5}{2})，(x_2 = -dfrac{1-sqrt5}2)。

于是有 (F(x) = dfrac x{(x-x_1)(x-x_2)})。

考虑 (dfrac1{x-x_1}-dfrac1{x-x_2} = dfrac{x_2-x_1}{(x-x_1)(x-x_2)})，则 (F(x) = dfrac{x}{x_2-x_1}left(dfrac1{x-x_1}-dfrac1{x-x_2} ight))。

考虑调整：(F(x) = dfrac{x}{x_2-x_1}left(dfrac1{x_2}dfrac1{1-x/x_2}-dfrac1{x_1}dfrac1{1-x/x_1} ight))

可以比较轻松地看出 ([x^n]F(x))， 具体地：

[egin{align} [x^n]F(x) &= [x^n]frac1{x_2-x_1}frac1{x_2}frac x{1-x/x_2} - [x^n]frac1{x_2-x_1}frac1{x_1}frac x{1-x/x_1}\ &= [x^n]frac1{x_2-x_1}frac1{x_2}sum_n frac{x^{n+1}}{x_2^n} - [x^n]frac1{x_2-x_1}frac1{x_1}sum_n frac{x^{n+1}}{x_1^n}\ &= frac1{x_2-x_1}left(frac1{x_2^n}-frac1{x_1^n} ight) end{align} ]

整理后就得到：

[F[n] = frac{sqrt5}5left[left(frac{1+sqrt5}2 ight)^n-left(frac{1-sqrt5}2 ight)^n ight] ]

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特征根法

特征方程： 特征方程可以用于求解线性递推数列的通项公式，其步骤是：将数列假设为一个等比数列并求出特征根， 再代入初始数列的值求出特征根的系数， 从而得到通项公式。

设 (sf F_n = lambda^n)， 就有：(sflambda^n = lambda^{n-1} + lambda^{n-2})。

令 n=2， 就有：(sflambda^2 = lambda+1)， 解方程得到：

[sflambda_1 = frac{1+sqrt 5}2,sflambda_2 = frac{1-sqrt 5}2 ]

根据特征根法的结论， 数列的通项公式可以表示为：(sf F_n = plambda_1^n + qlambda_2^n)。

把 n=0,n=1 分别代入得到：

[egin{cases} sf plambda_1 + qlambda_2 = 1\ sf p + q = 0 end{cases} ]

解得：(egin{cases}sf p=dfrac1{sqrt5}\sf q=-dfrac1{sqrt5}end{cases})

那么就可以得到通项公式了。