树上背包

参考

---

[CTSC1997]选课

首先是原题的题解：

显然先修结构是森林， 设一个超级根， 作为所有没有先修课节点的先修课， 价值为 0， 然后在这颗超级树里选 m+1 个答案， 就是原题的答案。

设 f_u,i 表示在以 u 为根的子树里选 i 门课的最大得分， 那么：

[sf f_{u,i} = max_{vin som(u),sum k_v = i-1} {sum f_{v,k_v}} + a_u ]

这个可以通过背包合并子树， 然后移位即可。

合并子树 u,v：

[sf f_{u,i} = max_k{f_{u,i-k}+f_{v,k}} ]

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N = 303;

int n, m, a[N];
vector<int> e[N];

int f[N][N];

void dfs(int u) {
	for(vector<int>::iterator it = e[u].begin(); it != e[u].end(); ++it) {
		int v = *it;
		dfs(v);
		for(int j = m; j >= 1; --j)
			for(int k = 0; k <= j; ++k)
				f[u][j] = max(f[u][j], f[u][k] + f[v][j-k]);
	}
	for(int i = m+1; i >= 1; --i) f[u][i] = f[u][i-1] + a[u];
}

int main() {
	scanf("%d%d", &n, &m);
	for(int i = 1; i <= n; ++i) {
		int p;
		scanf("%d%d", &p, &a[i]);
		e[p ? p : n+1].push_back(i);
	}
	dfs(n+1);
	cout << f[n+1][m+1];
	return 0;
}

上下界优化：

void dfs(int u) {
	siz[u] = 1;
	for(vector<int>::iterator it = e[u].begin(); it != e[u].end(); ++it) {
		int v = *it;
		dfs(v);
		for(int j = min(m, siz[u]+siz[v]); j >= 1; --j)
			for(int k = max(0,j-siz[u]); k <= j && k <= siz[v]; ++k)
				f[u][j] = max(f[u][j], f[u][j-k] + f[v][k]);
		siz[u] += siz[v];
	}
	for(int i = m+1; i >= 1; --i) f[u][i] = f[u][i-1] + a[u];
}

优化后的总复杂度是 O(n²) 的。