清华集训 part1

目录

• 跳跳棋
• Rmq Problem / mex
• 模积和
• 串珠子
• 小 Y 和二叉树
• 奇数国

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跳跳棋

假设有 a < b， 那么可以变成 b < b + (b - a) 或 a - (b - a) < a， 也就是 b < 2b - a 或 2a - b < a。

也就是说以 x 为中轴跳动 y 就会让 y 变成 2x - y。

似乎很难， 但是题目说了不能跳过两个棋子， 这就大大限制了能玩出的花样。

那么支持的操作只有：

1. 中间的棋子跳成两边的
2. 离中间棋子较近的跳成中间的

发现缩小两边棋子距离的跳法只有一种， 这样， 整个状态空间可以看成一颗树， 这样， 可以通过判断初始状态和目标状态在树上的距离（不连通就是 infty）来寻找答案。

首先跳到根很容易跳，这样就可以判断无解。

然后发现可以在跳的过程中记录步数， 进一步发现可以快速跳指定的步数。

然后就可以做了， 跳到相同深度然后二分 lca 的深度即可。

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Rmq Problem / mex

查询的时候对于 [1,r] 的值域线段树， 叶节点记录的是每个数最后出现的位置， 挺妙的。

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模积和

推式子 + 数论分块。

代码年代久远，丑（

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串珠子

比较经典的方法， 即 G = exp(F) → F = ln(G) 连通的方案数 = 所有方案数 - 不连通的方案数。

不连通的方案数可以通过枚举点 1 所在连通块的大小来实现， 这就又分成了子问题。

代码年代久远（

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小 Y 和二叉树

——字典序有天然的贪心性质

显然序列中的第一个数是度数 (le 2) 的编号最小的那个点， 设其为 pos。

分类讨论：

1. pos 的度数是 1， 那么设 pos 唯一连着的点为 els， 那么 els 当 pos 的父亲的话， 第二个点就是 els（case 1）， 反之 els 当 pos 的右儿子（case 2）， 则第二个点是 els 的左儿子或 els。比对 case 1 和 case 2 的价值， 哪个小取哪个。case 1 的话， 相当于去掉 pos 之后再回到分类讨论；case 2 的话， 就是另一个问题，“根节点确定了，求字典序最小的中序遍历”， 这个很好搞。如果 case 1 和 case 2 价值相等的话， 即不论 case 1 还是 case 2， els 都是第一个点，这样 els 的度数是 2， 那么可以发现不论直接按 case 1 还是直接按 case 2 处理都是等效的。
2. pos 的度数是 2， 那么设 pos 连着的两个点为 p,q，那么 els 必有右儿子， 比对下 p,q 当右儿子哪个价值大就行了， 这就又分割成两个子问题。不可能发生相等的情况。

将最初的哪个 pos 作为根， 就可以很轻松地实现上述算法。

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奇数国

又臭又长的题面真是文明发展的毒瘤 =_=|||

首先这个不相冲等价于 gcd = 1， 那么题面可以被概括为：

1. 单点修改
2. 询问某个区间的数乘起来的 φ 值。

询问的结果对 19961993 取模。

这个看上去就是 log² 线段树维护质因数分解啊。

然后这个模数是质数， 于是可以光维护区间乘积和质因子有没有出现过， 就是单 log 了。

（把 φ 的公式记错了调了几分钟草

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