对于约数个数上界的估计

简介

经常遇到一些复杂度与约数个数 ( ext d(n)) 相关的题, 但是并不保证复杂度, 而且也没见到很好的估计(可能是我菜)...

所以打表算了一下, 下面是结果.

1. (le 10^5) 的数中 (d(n)) 最大的出现在 (83160 = 2^3 cdot 3^3 cdot 5 cdot 7 cdot 11) , ( ext d(83160) = 128);
2. (le 10^6) 的数中 (d(n)) 最大的出现在 (720720 = 2^4 cdot 3^2 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13) , ( ext d(720720) = 240);
3. (le 10^7) 的数中 (d(n)) 最大的出现在 (8648640 = 2^6 cdot 3^3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13) , ( ext d(8648640) = 448);
4. (le 10^8) 的数中 (d(n)) 最大的出现在 (73513440 = 2^5 cdot 3^3 cdot 5 cdot 7 cdot 11 cdot 13 cdot 17) , ( ext d(73513440) = 768).

看起来是根号级别的...似乎是一个介于 (sqrt[3]{n}) 到 (sqrt n) 的一个函数.

在常见的数据范围中, 可以看做 ( ext d(n) le 500) 或 ( ext d(n) le 1000).

Upd: 似乎看到一个证明: 约数个数的上界估计 - 百度文库.

上面的paper利用放缩法证明了以下结论：

• 对于任意正整数 (n), 有 ( ext d(n) le sqrt{3n});
• 对于 (n > 1260), 有 ( ext d(n) < sqrt{n}).

Upd2: 对于 (10^{18}) 范围内的数, 约数个数最多约为 (10^5).

代码

#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
using namespace std;
#define rep(i,l,r) for(register int i=(l);i<=(r);++i)
#define repdo(i,l,r) for(register int i=(l);i>=(r);--i)
#define il inline
typedef double db;
typedef long long ll;

//--------------------------------------
const int N=1e8+5;
bool mark[N];
int prim[N],d[N],num[N],res=0,resp;
int cnt;
void initial()
{
    cnt=0;
    d[1]=1;
    for (int i=2 ; i<N ; ++i)
    {
        if (!mark[i])
        {
            prim[cnt++]=i;
            num[i]=1;
            d[i]=2;
        }
        for (int j=0 ; j<cnt && i*prim[j]<N ; ++j)
        {
            mark[i*prim[j]]=1;
            if (!(i%prim[j]))
            {
                num[i*prim[j]]=num[i]+1;
                d[i*prim[j]]=d[i]/(num[i]+1)*(num[i*prim[j]]+1);
                break;
            }
            d[i*prim[j]]=d[i]*d[prim[j]];
            num[i*prim[j]]=1;
        }
		if(d[i]>res)res=d[i],resp=i;
    }
}

int main(){
	ios::sync_with_stdio(0),cin.tie(0);
	initial();
	cout<<res<<' '<<resp<<'
';
	return 0;
}