同余
欧拉定理
当 ((a,p) = 1),
[a^{phi(p)}equiv 1pmod p
]
(a) 对 (mod p) 的指标 (d) 满足 (d | phi(p)), 但未必等于 (phi(p)).
费马小定理
若 (p in mathbb P) (质数集合),
[a^{p-1}equiv 1pmod p
]
扩展欧拉定理
[a^bequiv
egin{cases}
a^{b\%phi(p)} & gcd(a,p)=1\
a^b & gcd(a,p)
eq1,b<phi(p)\
a^{b\%phi(p)+phi(p)} & gcd(a,p)
eq 1 , b geq phi(p)
end{cases} pmod p
]
或者说, 对于任意 (xgephi(m)),
[a^xequiv a^{xmodphi(m)+phi(m)}pmod m
]
这可以用来给一些高次幂降幂到 ([0,2cdot phi(p))).