定义
康托展开可以用来求一个 (1sim n) 的任意排列的排名。
把 (1sim n) 的所有排列按字典序排序，这个排列的位次就是它的排名。
时间复杂度
康托展开可以在 (O(n^2)) 的复杂度内求出一个排列的排名，在用到树状数组优化时可以做到 (O(nlog n)) 。
全排列到自然数
因为排列是按字典序排名的，因此越靠前的数字优先级越高。也就是说如果两个排列的某一位之前的数字都相同，那么如果这一位如果不相同，就按这一位排序。
比如 (4) 的排列， ([2,3,1,4]<[2,3,4,1]) ，因为在第 (3) 位出现不同，则 ([2,3,1,4]) 的排名在 ([2,3,4,1]) 前面。
举例：
我们知道长为 (5) 的排列 ([2,5,3,4,1]) 大于以 (1) 为第一位的任何排列，以 (1) 为第一位的 (5) 的排列有 (4!) 种。这是非常好理解的。但是我们对第二位的 (5) 而言，它大于 第一位与这个排列相同的，而这一位比 (5) 小的 所有排列。不过我们要注意的是，这一位不仅要比 (5) 小，还要满足没有在当前排列的前面出现过，不然统计就重复了。因此这一位为 (1,3) 或 (4) ，第一位为 (2) 的所有排列都比它要小，数量为 (3 imes 3!) 。
按照这样统计下去，答案就是 (1+4!+3 imes 3!+2!+1=46) 。注意我们统计的是排名，因此最前面要 (+1) 。
注意到我们每次要用到 当前有多少个小于它的数还没有出现 ，这里用树状数组统计比它小的数出现过的次数就可以了。
自然数到全排列(逆康托展开)
因为排列的排名和排列是一一对应的，所以康托展开满足双射关系，是可逆的。可以通过类似上面的过程倒推回来。
如果我们知道一个排列的排名，就可以推出这个排列。因为 (4!) 是严格大于 (3 imes 3!+2 imes 2!+1 imes 1!) 的，所以可以认为对于长度为 (5) 的排列，排名 (x) 除以 (4!) 向下取整就是有多少个数小于这个排列的第一位。
代码
/*
输入p x,输出第x个排列;输入Q p1,p2..pn,输出排列的排名
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
int a[25],ans[25];
ll fac[25];
void init(int n){
fac[1]=1;
for(ll i=2;i<=n;i++){
fac[i]=fac[i-1]*i;
}
}
ll getrank(int *a,int n){
ll ans=1;
for(int i=1;i<=n;i++){
int cnt=a[i]-1;
for(int j=1;j<=i-1;j++){
if(a[j]<a[i])cnt--;
}
ans+=cnt*fac[n-i];
}
return ans;
}
void getpermutation(ll p,int n){
vector<int>vis(n+1,0);
p--;
for(int i=1;i<=n;i++){
ll cnt=i!=n?p/fac[n-i]:0;
p-=cnt*fac[n-i];
int res=0;
for(int j=1;j<=n&&cnt>0;j++){
if(!vis[j]){
res=j;cnt--;
}
}
res++;
while(vis[res])res++;
ans[i]=res;vis[res]=1;
}
}
int main () {
int n,k;
scanf("%d%d",&n,&k);
init(n);
while(k--){
char c;
scanf(" %c",&c);
if(c=='P'){
ll p;
scanf("%lld",&p);
getpermutation(p,n);
for(int i=1;i<=n;i++){
if(i>1)printf(" ");
printf("%d",ans[i]);
}puts("");
}
else{
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
printf("%lld
",getrank(a,n));
}
}
}