dp练习

练习1 CF 1132F Clear the String

大意: 给定字符串, 每次消除同色连通块, 求最少多少次消除完

考虑区间DP, 只考虑从左侧消除的情况, 因为从右侧转移到左侧与从左侧转移到右侧是等价的, 复杂度O(n^3)

const int N = 600;
int n;
char s[N];
int dp[N][N];

int solve(int l, int r) {
	if (l>r) return 0;
	int &ans = dp[l][r];
	if (ans) return ans;
	ans = 1+solve(l+1,r);
	REP(i,l+1,r) if (s[i]==s[l]) ans=min(ans,solve(l+1,i)+solve(i+1,r));
	return ans;
}


int main() {
	scanf("%d%s", &n, s+1);
	printf("%d
",solve(1,n));
}

练习2 CF 1107E Vasya and Binary String

大意: 给定01字符串, 每次消除同色连通块, 得分为$w_len$, $len$为消除的长度, 求最大得分

设$dp[l][r][pre]$为$l$前有$pre$个与$l$同色的最大得分, 同上题转移就好了

ll dfs(int l, int r, int pre) {
	if (l>r) return 0;
	ll &ans = dp[l][r][pre];
	if (ans) return ans;
	if (l==r) return ans=a[pre];
	ans = a[pre]+dfs(l+1,r,1);
	REP(i,l+1,r) if (s[i]==s[l]) ans=max(ans,dfs(l+1,i-1,1)+dfs(i,r,pre+1));
	return ans;
}

int main() {
	scanf("%d%s", &n, s+1);
	REP(i,1,n) scanf("%d", a+i);
	printf("%lld
", dfs(1,n,1));
}

练习3. CF 1107F Vasya and Endless Credits

考虑最优解的结构, 一定是有一部分全部还完, 还有一部分没有还完, 还完的直接在最开始买就行, 对于未还完的, 购买的时间一定连续, 并且$b_i$是非增的, 所以可以按照$b_i$排序转移即可, 复杂度$O(n^2)$

const int N = 1e3+10;
int n;
struct _ {
	int a, b, k;
} a[N];
ll dp[N];


int main() {
	scanf("%d", &n);
	ll ans = 0;
	REP(i,1,n) {
		scanf("%d%d%d", &a[i].a, &a[i].b, &a[i].k);
	}
	sort(a+1,a+1+n,[](_ a,_ b){return a.b>b.b;});
	REP(i,1,n) {
		PER(j,0,n-1) {
			dp[j+1]=max(dp[j+1],dp[j]+a[i].a-(ll)j*a[i].b);
			dp[j]=max(dp[j],dp[j]+a[i].a-(ll)a[i].k*a[i].b);
		}
	}
	printf("%lld
", *max_element(dp,dp+1+n));
}

练习4 CF 1114D Flood Fill 

大意: n个带颜色的格子, 初始选择一个格子$x$, 每次操作改变$x$的颜色, $x$的连通块颜色同时改变, 求最少操作数使得格子全部同色

贪心尽量让左右两侧的同色一起连通, 相当于对同色的连边, 且不能交叉, 求最大连边数. 这个可以用区间dp求出, 再用总的连通块减去边数就行, 转移二分了一下贪心找尽量靠右的点与左端点匹配, 复杂度$O(n^2logn)$, 其实可以预处理一下达到O(n^2)懒得写了..

int dfs(int l, int r) {
    if (l>=r) return 0;
    if (vis[l][r]) return dp[l][r];
    vis[l][r]=1;
    int &ans = dp[l][r];
    ans = dfs(l+1,r);
    auto t = upper_bound(g[a[l]].begin(),g[a[l]].end(),r);
    --t;
    if (*t>r||*t<=l) return ans;
    return ans=max(ans,dfs(l+1,*t-1)+1);
}

int main() {
    scanf("%d", &n);
    REP(i,1,n) {
        scanf("%d", a+i);
        if (a[i]==a[i-1]) --i,--n;
    }   
    REP(i,1,n) g[a[i]].push_back(i);
    int mx = dfs(1,n);
    printf("%d
", n-mx-1);
}

这题看官方题解还有两种做法

1. 设$dp[l][r][0/1]$为[l,r]区间最后颜色为s[l]或s[r]的最小值, 很容易实现O(n^2)

2. 转为反串LCS