hdu3336解读KMP算法的next数组

查看原题

题意大致是：给你一个字符串算这里面所有前缀出现的次数和。比如字符串abab，a出现2次，ab出现2次，aba出现1次，abab出现1次。总计6次。

并且结果太大，要求对1007进行模运算。

AC代码

#include <iostream>
using namespace std;
#include <string>
string s;
int n,Next[200005];
void getNext()
{
    int len = n;    
    Next[0]=-1;
    int i=0,j=-1;
    while (i<len)
    {
        if(j==-1||s[i]==s[j])
        {
            ++i;
            ++j;
            Next[i]=j;
        }
        else
            j = Next[j];
    }
}

void main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while (t--)
    {
        cin>>n;
        cin>>s;
        getNext();
        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int j=i;
            while(j)
            {
            sum = (sum+1)%10007;
            j = Next[j];
            }
        }
        cout<<sum<<endl;
    }
}

KMP的next数组

概述

贴代码不是目的，讲解算法才是关键！！。解题的思路是使用了 KMP 算法，然而把并不是完整的KMP算法。只用到了它的next数组的求法。然而这正是KMP算法本身的关键所在。关于上面代码中getNext函数中进行的求next数组的实现部分，属于经典实现，模板代码。很容易找到，这里关键在于讲解next数组的思想。

在漫天飞的网络资料中，next数组的表示方法大致有两种：

• next数组第一位为-1
• next数组第一位为0

基本上是异曲同工。这里我用的是首元素为-1的解决方案，要注意的是若是首元素为-1的方案，那么next数组的大小是模式串长度+1！举个例子：

下标	0	1	2	3	4
模式串	a	b	a	b
next数组	-1	0	0	1	2

        当然了，这里我表示的是c++的string字符串。不是C风格字符串，所以没写''.如果是C风格字符串(字符数组)那么红色部分就是''了。不过这不是重点，不是么？

在KMP算法中，关于next数组一般也作两种理解（以next数组首元素为-1为例，为0时表述略有不同）：

1. 在模式串在某处与主串失配时，模式串应该回溯的位置。
2. 以当前位置的前一位为结尾，其之前字符串与该串前缀相配的最大长度。

下面，略为解释一下这两点：

第一点

比如有一主串abacabab，有一模式串abab，要从主串之中查找是否包含模式串。那么我们依次遍历两个串，假设遍历两串有两个指针(逻辑意义上的指针)，或者称为光标。

开始时，前三位都能匹配。

下标	0	1	2	3	4	5	6	7
主串	a	b	a	c	a	b	a	b
模式串	a	b	a	b

然后在下标为3处，也就是红色部分失配了。那么朴素的字符串匹配算法就是要让主串的指针移动到下标为1.模式串指针归零，即移到首位，然而这很明显是低效的操作。KMP算法则是在这种情况下，不修改主串的指针，只修改模式串指针，故KMP算法又称无回溯KMP算法。那么模式串指针修改为什么呢，那就要看next数组了。

在上例中在下标为3处失配，则去看next[3]，没错是 1 。于是

下标	0	1	2	3	4	5	6	7
主串	a	b	a	c	a	b	a	b
模式串			a	b	a	b

直接把模式串的指针移动到 下标为 1 处。再次失配，则观察 next[1] =0.继续重复上一过程。直至遍历完成。KMP算法效率为O(m+n)，其中m和n分别为主串和模式串的长度。

第二点

我们再次观察next数组的表格，

下标	0	1	2	3	4	5	6	7
主串	a	b	a	c	a	b	a	b
模式串	a	b	a	b

• 当下标为1时，要看它前一位的字符串，也就是看a，自身匹配不算。next数组为0。
• 当下标为2时，要观察ab，a与b不匹配。next数组为0。
• 当下标为3时，要观察aba，此时末尾的a与前缀a匹配，因为匹配长度为1所以next数组为1.
• 当下标为4时，要观察abab，此时末尾的ab与前缀ab匹配，因为匹配长度为2所以next数组为2.

回到本题

代码中：

        int sum=0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            int j=i;
            while(j)
            {
            sum = (sum+1)%10007;
            j = Next[j];
            }
        }

用于求解所有前缀出现次数和，那么为什么这样呢？

首先看for循环，从1遍历到n，大家应该很明白了。我们的next数组的长度比串长度多1个。

while(j)造成的情况就是for循环中i = 1,2,3……n都会使sum+1.

这是很好理解的因为，比如abab，那么 a，ab，aba，abab。这4个前缀肯定会算1个的对不？那么长度为n的字符串也会至少使sum+n对不。

然后接下来是 j = next[j].接下来我们用逆向思维来讲解，另举一例。另有以字符串ababa，求它的sum(前缀出现次数和)。我们可以得到它的next数组：

下标	0	1	2	3	4	5
模式串	a	b	a	b	a
next数组	-1	0	0	1	2	3

代入到上述代码中，和abab相比，只多了一位。所以直接看 i 等于n(n为5)的时候，在sum=6（abab的sum值为6）的基础上来看。

• j=i=5                //表示的是ababa这个长度为5的最长前缀
• while(j)成立，sum=6+1=7
• j=next[5]=3      //表示的是aba这个长度为3的前缀
• while(j)成立，sum=7+1=8
• j=next[3]=1      //表示的是a这个长度为1的最短前缀
• while(j)成立，sum=8+1=9
• j=next[1]=0.
• while(j)不成立，结束。
• 最终sum=9
  

要理解上面的注释部分，需要再回到前面去看关于next数组解释的 第二点。