递归的讨论

递归的讨论

         递归是一个强大的工具，用递归写的程序往往比较容易理解和实现。但是当面对一些递归性问题的时候，我们的第一感觉就是用递归程序实现，但是从问题到最终的实现程序之间需要经过什么？怎样才能写出正确的递归程序？我们将在这里进行关于递归的讨论。

         我们首先介绍两个简单的递归实现程序，然后讨论循环与递归的关系，再结合之前递归程序，讨论如何才能写出正确的递归程序。

一、两个简单的递归程序

这里我们讨论阶乘的计算和斐波那契数列的计算。

 

首先我们给出这两个的非递归实现：

// 阶乘与斐波那契数列的非递归实现
#include <iostream>
using namespace std;

int fact(int n)
{
    if (n == 0)
    {
        return 1;
    }
    int ret = 1;
    for (int i = 1; i != n+1; ++i)
    {
        ret *= i;
    }
    return ret;
}

int fibo(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return n;
    }
    int a = 0, b = 1;
    int ret = 0;
    for (int i = 2; i != n+1; ++i)
    {
        ret = a + b;
        a = b;
        b = ret;
    }
    return ret;
}

int main()
{
    cout << fact(5) << endl;
    cout << fibo(5) << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

 

         以上关于阶乘与斐波那契数列的非递归实现分别用了循环实现。

         下面我们讨论阶乘与斐波那契数列的递归实现。

         阶乘的递归定义为：

fact(n) = n * fact(n-1)

       当n = 0或1时，fact(0) = fact(1) = 1

         斐波那契数列的递归定义为：

       fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2)

       当n=0时，fibo(0) = 0; 当n=1时，fibo(1) = 1

         根据阶乘和斐波那契数列的递归定义，我们给出其递归程序实现：

// 阶乘和斐波那契数列的递归实现
#include <iostream>
using namespace std;

int fact(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return 1;
    }
    return n * fact(n-1);
}

int fibo(int n)
{
    if (n == 0 || n == 1)
    {
        return n;
    }
    return fibo(n-1) + fibo(n-2);
}

int main()
{
    cout << fact(5) << endl;
    cout << fibo(5) << endl;
    system("PAUSE");
    return 0;
}

 

一个问题能够用递归实现需要满足两个条件：

1）、存在递归关系，这是递归的先决条件

      2）、存在终止条件，否则程序无法终止

 

         二、递归与循环的关系

从前面可以看出，阶乘和斐波那契数列的非递归实现分别包含了一个循环；而其递归实现里并没有循环结构，而仅是对其自身的递归调用。递归调用从某种意义上说相当于一个循环。一个递归调用，相当于一个循环。

 

         三、递归的进一步讨论

         前面我们有几篇是涉及递归实现的问题：

         《如何生成升序序列》

                   从三组0-9中依次选择一个数字，并保持3个数字是非降序的

         《从每组中依次选择一个元素》

                   从三组0-9中依次选择一个数字，不要求这3个数字的升降序

         《组合序列、排列序列的生成实现》

                   生成集合的组合序列和排列序列

         1）、如何生成升序序列

         定义：A(N, >X) = M * A(N-1, >X+1)，当N=0时，终止

         递归实现：1、一个循环；2、一个递归调用

         2）、从每组中依次选择一个元素

         定义：A(N) = M * A(N-1)，当N=0时，终止

         递归实现：1、一个循环；2、一个递归调用

         3）、组合序列、排列序列的生成实现

                  组合序列

                   定义：C(N, M) = C(N-1, M-1) + C(N-1, M)，当M=0时，终止

                   实现：1、无循环；2、两个递归调用

                   排列序列

                   定义：A(N) = N * A(N-1)，当N=0时，终止

                   实现：1、一个循环；2、一个递归调用

         前面我们讨论了递归与循环的关系，一个递归调用相当于一个循环。在解决某种问题的递归实现时，如何判定是否有循环？

         这里有两种方式，第一种是看递归定义，如果递归定义中只有自身的，则递归实现中没有循环，只有递归调用。如果递归定义中除了自身，还有其他变量，则递归实现中有对应于变量的循环以及关于自身的递归调用。

         第二种方法是看问题原型，如果原型中只有一个循环，那么递归实现中只需要一个递归调用，不需要循环结构。如果原型中有两个循环，那么递归实现种除了一个递归调用外，还需要一个循环结构。

 

         四、如何才能写出正确的递归程序

         如果一个问题符合递归定义，那么就可以用递归方式实现。用递归程序解决问题的步骤归纳如下：

         1）、首先明确问题的描述

         2）、给出递归定义和终止条件

         3）、根据递归定义决定递归调用和循环结构

         4）、设计递归函数接口

         5）、实现、测试

 

         五、总结

         这里我们讨论了关于递归程序如何书写，主要从问题的递归定义出发，看其定义是否包括变量和自身，再决定递归函数的定义结构即除了递归调用外是否还包含循环结构。

         最后，我们归纳了如何才能写出正确的递归程序，主要分为5个步骤进行。在以后的工作中，如果碰到需要递归才能解决的问题，我们的第一出发点就是要给出其递归定义（而不是直接code）。先思考，再编程。