矩阵的基本概念

一，逆矩阵

二，伴随矩阵

三，转置矩阵

四，正交矩阵、特征值、特征向量

1.正交矩阵

单位向量定义是：长度为1的方向向量。

单位矩阵定义：矩阵对角线上的元素是1，其余元素全是0的矩阵。

正交矩阵的定义是：A与A的转置矩阵的乘积是单位矩阵。也可以这么理解，有一个矩阵A，它有如下性质：（1）任意一行(列)的所有元素的平方和为1；（2）A中任意两个不同行（列）的对应元素乘积之和为0。那我们称A为正交矩阵。

方阵A为正交矩阵的充要条件是A的列向量是单位向量，且两两正交。

2.求解特征值、特征向量

设n阶矩阵A=(a_ij)的特征值是λ₁,λ_2,…,λ_n，那么有如下性质：

(1)λ₁+λ₂+…+λ_n=a₁₁+a₂₂+…+a_nn

(2)λ₁*λ₂*…*λ_n=|A|

五，相似矩阵

相似矩阵定义为：设A、B都是n阶矩阵，若有可逆矩阵p，使得p^-1Ap=B，则称B是A的相似矩阵，A与B相似。

定理1：n阶矩阵A、B相似，那么A与B的特征多项式相同，从而 A与B的特征值亦相等。

推论：n阶矩阵A与n阶对角矩阵Λ

相似，则λ₁，λ₂，λ₃，…，λ_n即是A的n个特征值。

六，矩阵的对角化

1. 定义

n阶矩阵A与n阶对角矩阵Λ相似，则p^-1Ap=Λ，说明A可以对角化。

定理：矩阵A能够对角化的充要条件是A有n个线性无关的特征向量。

推论：矩阵A有n个互不相等的特征值说明矩阵A能够对角化。

2.对称矩阵的对角化

定理：假设λ₁，λ₂为对称矩阵A的两个特征值，p₁，p₂是对应的特征向量，若λ₁≠λ₂，则p₁与p₂正交。

定理：设A为n阶对称矩阵，则必有正交矩阵P，使P^-1AP=P^TAP=Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元素的对角矩阵。