C++排序算法小结

     近期来闲来无事，整理了一些比较常见的排序算法，都是用C++写的，其中包括：直接插入排序、折半插入排序、冒泡排序、选择排序、快速排序、堆排序、归并排序、希尔排序、基数排序，计数排序和桶排序，总共11种算法，其中时间复杂度为O(n^2)为前4种，中间4中的时间复杂度为O(nlgn)，最后3种的时间复杂度为O(n)。下面我们分3个栏目来介绍:n^2排序、nlgn排序和线性排序。

注：A为全局变量，为一维int数组，N为数组元素个数

n^2排序

直接插入排序

     类似于扑克牌排序的原理，在斗地主的时候，每当摸到一张牌后就插入到相应的位置，直接插入排序就是这个原理。从数组第一个数开始，比较该数和前面的数的大小，如果前面的数比该数小，则和前面一位的数调换位置，然后继续比较，直到出现一个数比该数小为止。

     核心代码如下：

void InsertSort()
{
    int i,j;
    for(i = 1;i <= N;i++)
    {
        j = i;
        while(j > 0 && A[j] < A[j - 1])
        {
            swap(A[j],A[j-1]);
            j --;
        }
    }    
}

折半插入排序

     其实这种算法是直接插入排序的一种优化，在一个数与其前面的数字进行比较的时候，取以数组第一个数和该数前一个数为区间的中间的数，类似与二分法。

核心代码如下：

void HalfSort()
{
    int i, j, high, low, mid;
    for (i = 2; i <= N; i++)
    {
        A[0] = A[i];
        low = 1;
        high = i - 1;
        while (low <= high)
        {
            mid = (low + high) / 2;
            if (A[0] < A[mid])
                high = mid - 1;
            else
                low = mid + 1;
        }
        for (j = i - 1; j >= high + 1; j--)
            A[j + 1] = A[j];
        A[high + 1] = A[0];
    }
}

冒泡排序

     这个排序算法算是我最早接触的算法，原理就是每次内循环一遍就能把最小的数排到前面，这样外循环完后就排好了。

核心算法如下：

void BubbleSort()
{
    for(int i = 1;i <= N - 1;i++)
    {
        for(int j = N;j >= i+1;j--)
        {
            if(A[j] < A[j - 1])
                swap(A[j],A[j-1]);
        }
    }
}

选择排序

     和冒泡排序类似，只不过是先找到最小的数的下标，然后再置换到相应的位置。

核心代码如下：

void SelectSort()
{
    int i,j,lowkey,lowindex;
    for(i = 1;i <= N - 1;i++)
    {
        lowindex = i;
        lowkey = A[i];
        for(j = i + 1;j <= N;j++)
        {
            if(A[j]<lowkey)
            {
                lowkey = A[j];
                lowindex = j;
            }
        }
        swap(A[i],A[lowindex]);
    }
}

nlgn排序

快速排序

     这个排序算法在nlgn排序算法中算是比较常见的算法了，速度快而且可以进行不同程度的优化。

     算法原理概括为2部分：

     •分解：数组A[i..j]被划分为两个(可能为空)子数组A[i..q-1]和A[q+1..j]，使得A[i..q-1]中没一个元素都小于等于A[q]，而A[q]也小于等于A[q+1..j]中每一个元素。其中，计算下标q也是划分过程的一部分;

     •解决：通过递归调用快速排序，对子数组A[i..q-1]和A[q+1..j]进行排序;

     返回合适的主元下标，这里是用数组从左到右两个不同的数偏大的为主元：

int FindPivot(int i,int j)
{
    int firstkey = A[i];
    int k;
    for (k = i + 1; k <= j; k++)
    {
        if (A[k] > firstkey)
            return k;
        else if (A[k] < firstkey)
            return i;
    }
    return 0;
}

     划分部分代码：

void Patition(int i, int j, int q)
{
    int pivot = A[q];
    int l = i;
    int r = j;
    do
    {
           swap(A[l],A[r]);
    while(A[l] < pivot) l++;
    while(A[r] >= pivot) r--;    
    }while(l <= r);
}

     排序代码：

void QuickSort(int i, int j)
{
    int q,l,r,pivot;
    q = FindPivot(i,j);
    if (q != 0)
    {
        Patition(i,j,q);
        QuickSort(i,l-1);
        QuickSort(l,j);
    }
}

     关于快排的优化问题，可以对两个点进行考虑，这里不贴具体代码：

     •主元的选择问题，可以采取随机数的方法

     •递归的时候，可以把所有与主元值一样的数字所在的数组下标都去掉，减少递归次数

堆排序

     这里就用到了最大堆的相关概念，具体可以查看我的另一个博客：

     堆排序的原理是：用相关算法维持数组A的最大堆的性质的同时，然后每次取该数组的根(最大的数)，然后将其与最后的元素调换，再进行最大堆性质的维持，此时堆的元素个数减少一个，以此类推，则得到从小到大排列好的数组。

     维护堆的性质所需要的算法，它的输入为一个下标和堆此时元素个数，并且此时以根节点i的左右儿子为根节点的二叉树都是二叉树，但此时A[i]可能小于其儿子，这样就需要算法进行调整，如下：

void MaxHeapify(int i,int heapsize)
{
    int l = 2*i;
    int r = 2*i+1;
    int largest;
    if(l <= heapsize && A[l] > A[i])
        largest = l;
    else
        largest = i;
    if(r <= heapsize && A[r] > A[largest])
        largest = r;
    if(largest != i)
    {
        swap(A[i],A[largest]);
        MaxHeapify(largest,heapsize);
    }
}

     然后利用上面的算法建立一个数组A的最大堆：

void BuildMaxHeap()
{
    int heapsize = N;
    for(int i = N/2;i > 0;i--)
        MaxHeapify(i,heapsize);
}

     最后就是堆排序算法：

void HeapSort()
{
    int heapsize = N;
    BuildMaxHeap();
    for(int i = N;i > 1;i--)
    {
        swap(A[1],A[i]);
        heapsize --;
        MaxHeapify(1,heapsize);
    }
}

归并排序

     该算法采用了分治策略，即：

     •分解：分解待排序的n个元素的序列成各具n/2个元素的两个子序列;

     •解决：使用归并排序递归地排序两个子序列;

     •合并：合并两个已排序的子序列以产生已排序的答案。

     下面先进行对两个已经排好序的数组进行合并：

void all_sort::Merge(int p,int q,int r)
{
    int n1 = q - p + 1;
    int n2 = r - q;
    int *L = new int[n1+2];
    int *R = new int[n2+2];
    int i,j,k;
    for(i = 1;i <= n1;i++)
        L[i] = A[p+i-1];
    for(i = 1;i <= n2;i++)
        R[i] = A[q+i];
            L[n1+1] = 10000;
            R[n2+1] = 10000;
    i = 1;
    j = 1;
    for(k = p;k <= r;k++)
    {
        if(L[i] <= R[j])
        {
            A[k] = L[i];
            i ++;
        }
        else
        {
            A[k] = R[j];
            j ++;
        }
    }
}
                

     接着进行递归排序：

void MergeSort(int p,int r)
{
    int q;
    if(p<r)
    {
        q = (p+r)/2;
        MergeSort(p,q);
        MergeSort(q+1,r);
        Merge(p,q,r);
    }
}

希尔排序

     该排序算法又称为缩小增量排序，其原理是：把数组A按照步长gap分组，对每组进行直接插入排序，随着步长逐渐减小，所分成的组包含的记录越来越多，当步长的值减小到 1 时，整个数据合成为一组，构成一组有序记录，则完成排序，以下为演示：

     核心代码如下：

void shellSort()
{
    int gap = N/2;
    int j,tmp;
    while(gap >= 1)
    {
        for(int i = gap+1;i <= N;i++)
        {
            tmp = A[i];
            for(j = i - gap;j >= 1 && tmp < A[j];j = j - gap)
                A[j+gap] = A[j];
            A[j+gap] = tmp;
        }
        gap = gap/2;
    }
}

线性排序

基数排序

     这种排序非常的聪明，利用10个桶编号0-9，然后从A数组中把数依次放入桶中。第一遍是按照数的个位数的值，若其等于桶的编号，则放入该桶，然后该数组的顺序就变成了从第0桶到第9桶的数的排列的顺序，再按照该顺序第二遍排序，先把各桶清空，按照每个数的十位数值放入相应桶中，接着是第三遍...第k遍，k为这些数中的最大位数。举例说明：

     •假设有欲排数据序列：73  22  93  43  55  14  28  65  39  81

     首先根据个位数的数值，在遍历数据时将它们各自分配到编号0至9的桶（个位数值与桶号一一对应）中：

    

     •接着将所有桶中所盛数据按照桶号由小到大（桶中由顶至底）依次重新收集串起来，得到如下仍然无序的数据序列： 81  22  73  93  43  14  55  65  28  39

     接着，再进行一次分配，这次根据十位数值来分配（原理同上），分配结果（逻辑想象）如下图所示：

    

     分配结束后。接下来再将所有桶中所盛的数据（原理同上）依次重新收集串接起来，得到如下的数据序列：

     14  22  28  39  43  55  65  73  81  93

     •由于这些数中最大数的位数为2，故2遍就能得出排序后的序列。

     借助库函数<queue>，核心代码如下：

int Radix(int k,int p)
{
    int power, i;
    power = 1;
    for (i = 1; i <= p - 1; i++)
        power = power * 10;
    return ((k % (power * 10)) / power);
}

void RadixSort()
{
    queue<int> Q[10];
    int data;
    int pass, r, i;
    for (pass = 1; pass <= 3; pass++)
    {
        while (!QA.empty())
        {
            data = QA.front();
            QA.pop();
            r = Radix(data, pass);
            Q[r].push(data);
        }
        for (i = 0; i <= 9; i++)
        {
            while (!Q[i].empty())
            {
                data = Q[i].front();
                Q[i].pop();
                QA.push(data);
            }
        }
    }
}

 计数排序

     计数排序假设n个输入元素的每一个都是在0到k区间的一个整数，其中k为某个整数。

     计数排序的基本思想是：对每一个输入元素x，确定小于x的元素个数。利用这一信息，就可以直接把x放到它在输出数组中的位置了。例如有17个元素小于x，则x的下标为17。当好几个元素相等时，要略微修改。

     核心代码如下(k为1000)：

void CountingSort()
{
    int C[1000];
    int i;
        //A_out存放排序的输出
    for(i = 0;i <=999;i++)
        C[i] = 0;
    for(i = 1;i <= N;i++)
        C[A[i]] ++;
    for(i = 1;i <= 999;i++)
        C[i] = C[i] + C[i-1];
    for(i = N;i >= 1;i--)
    {
        A_out[C[A[i]]] = A[i];
        C[A[i]] --;
    }
}

桶排序

     桶排序假设输入数据服从均匀分布，假设输入是[0,1)的随机小数，桶排序将[0,1)区间划分为n个相同大小的子区间，然后，将n个输入数分别放入各个桶中。例如有100个无序小数序列，则建立0-99个桶，每个小数乘以100向下取整放入相应桶中，然后每个桶中的元素进行排序，就得到了完整的排好序的小数序列。

     伪代码如下：

BucketSort()
{
    let B[0..n-1] be a new array
    for i = 0 to N - 1
        make B[i] an empty list
    for i = 1 to N
        insert A[i] into list B[⌊nA[i]⌋]
    for i = 0 to N - 1
        sort list B[i] with insertion sort
    concatenate the list B[0],B[1],...,B[n-1] together in order
}