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  • Cauchy收敛准则

    Cauchy数列:设({x_n})为一数列,如果对于任意给定的ε>0,都存在正整数N,使得

                                                     $|x_m-x_n|<ε,∀m,n>N$

    则称({x_n})为Cauchy数列。

    Cauchy收敛准则:数列({x_n})收敛的充分必要条件是它是Cauchy数列。

    证明:先证必要性,设({x_n})为收敛于A的数列,由数列极限的定义,对任意ε>0,存在正整数N,当m,n>N时有

                                                     $|x_m-A|<ε,$|x_n-0|<ε

    所以                                                 $|x_m-x_n|<2ε$

    由ε的任意性,数列({x_n})是Cauchy数列。

    下证充分性,设数列({x_n})是Cauchy数列。

    取ε=1,存在正整数N,使得(|x_m-x_n|<1,∀m,n>N)

    取n=N+1,有(|x_m-x_{N+1}|<1,∀m>N),从而(|x_m|<1+|x_{N+1}|,∀m>N)

    令(M=1+∑_{k=1}^{N+1}|x_k|),则(|x_n|≤M),所以数列({x_n})有界,即存在上下极限。

    由定义,$-ε<x_n-x_m<ε,∀m,n>N$

    若m给定,令n→∞,取下极限(-ε≤lim(下极限){n→∞}x_n-x_m≤ε)

    令m→∞,取上极限(-ε≤lim(下极限){n→∞}x_n-lim(上极限)_{n→∞}x_m≤ε)

    由ε的任意性,数列({x_n})上下极限相等,即数列({x_n})收敛。

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/valar-morghulis/p/13913153.html
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