SRM145 DIV1 1000

一道组合计数的问题，计算符合条件的合法组合个数。

任意一个合法的path都不是精确的，因为landmarks可以被标记在多个点上。若将landmarks尽可能靠前匹配，path中将不存在任意前后两个相同高度的点A、B，其中B被标记而A没被标记，AB之间也不存在其他标记。否则可以标记A而去掉标记B来使得landmarks的标记情况更加“靠前”。因此题目所求变为计算这种精确的path的个数。

使用一种分步策略来选择这种组合：

令(d, h, i, tf) 表示d点高度为h，前i个landmarks已被标记，若tf=1：到达过山顶，否则：还没到到过山顶。

地势可以升高、降低、不变，当前点可以被标记或者不标记，有如下状态转移方式：

状态转移：(d, h, i, tf) -> (D, H, I, TF) 

D = d+1

H = h-1 or h or h+1

if landmarks[i] == H then I = i + 1 else I = i

if H == maxHeight then TF = 1 else TF = tf

起始状态(0, 0, 0, 0) 终止状态(distance, 0, len(landmarks), 1)

（状态本身还有其他约束，见题，详见代码）

一个从起始状态到终止状态的路径就表示一个选择的策略，即对应一个组合，可以看出状态满足无后效性，因此考虑用动态规划来计算

class HillHike:
    def _infer(self, d, h, i, tf, q):
        if h==0:
            if d==self.distance:
                self.s[d][h][i][tf] += q
        elif 0<=h<=self.maxHeight:
            self.s[d][h][i][tf] += q
            
    def _createArray(self):
        self.s = []
        for d in range(0, self.distance+1):
            self.s.append([])
            for h in range(0, self.maxHeight+1):
                self.s[d].append([])
                for i in range(0, self.landmarks+1):
                    self.s[d][h].append([])
                    for tf in range(0, 2):
                        self.s[d][h][i].append(0)
                        
        
    def numPaths(self, distance, maxHeight, landmarks):
        self.distance = distance
        self.maxHeight = maxHeight
        self.landmarks = len(landmarks)
        self._createArray()

        s = self.s
        s[0][0][0][0] = 1
                
        for d in range(0, distance):
            for h in range(0, maxHeight+1):
                for i in range(0, len(landmarks)+1):
                    for tf in range(0, 2):
                        q = s[d][h][i][tf]
                        if q == 0:
                            continue

                        D = d + 1
                        Hs = [h-1, h, h+1]
                        for H in Hs:
                            if i < len(landmarks) and landmarks[i] == H:
                                I = i + 1
                            else:
                                I = i
                            if H == maxHeight:
                                TF = 1
                            else:
                                TF = tf
                            self._infer(D, H, I, TF, q)
        
        return s[distance][0][len(landmarks)][1]