仿射密码简介:
仿射密码和移位密码一样, 也是一种替换密码. 不同的是, 移位密码中, 我们使用的是模n加; 而在下面的仿射密码中, 我们使用的上一节中介绍的模n乘. 在安全性方面, 仿射密码同移位密码一样, 都是极其差的, 不仅因为他们的原理简单, 更要命的是这两种替换密码没有隐藏明文的字频信息, 这很容易导致破解者轻易的攻破.
放射密码中的一些概念:
1) 明密文字母表为Z26
2) 秘匙 K = (a,b) ∈ Z26_ × Z26 . 其中Z26_ 表示小于26且与26互素(或叫互质)的正整数的集合,这点非常重要的.
3) 加密变换为 y = (ax + b) mod 26 ;
很简单?(呵呵, 先别急.) 我们先来引入一个定义.
大家知道, 好多东西都有逆, 大家读小学时都知道,两个数相乘乘机为1,则互为倒数, 其实是最简单的逆. 后来, 我们到了高中, 我们学习了逆函数; 到了大学, 我们学习线性代数, 知道两个矩阵的乘积为单位矩阵的话, 则这两个矩阵互为逆矩阵.
现在我跟大家介绍另一种逆. 叫模逆. 其实很好理解的, 如下:
若a,b两数的乘积对正整数n取模的结果为1. 则称a,b 互为另外一个的模逆.
比如:
3*7 = 21; 21 % 20 = 1 ; 所以3,7 互为 20 的 模逆.
9*3 = 27; 27 % 26 = 1 ; 所以9,3 互为 26 的 模逆.
如何标记?
若a,b互为n的模逆 , 即b 为a 的模n的逆元 , 则记 b 为 a-1mod n (这里没公式编辑器, a-1中的-1在右上角, 见谅了呵呵).
看了上面的定义, 我们知道:
只有当 a 与 n 互素的时候, a 才是有模逆的. 其他情况下是不存在模逆的, 比如 2 对26 就没有模逆. 这是个很简单的数学问题, 大家动下手, 画几笔就清楚了.我就不多罗嗦了.
[思考] 大家能快速的求出11对123的模逆吗? (放心,11和123是互素的.)
可能大家会这样想:
设其模逆为 b , 则 必定存在一个整数 t , 使得等式 11b = 123t + 1 成立.
我们再变化一下, 也即所求为 必须使得 (11b - 1) % 123 = 0 恒成立.
到了这里, 如果使用笔算对b从2开始依次递加穷举的话,将会非常辛苦, 若将123换成一个更大一点的数, 用笔算穷举更是不可能的.
聪明你的肯定想说, 写个程序算就行了啊. 不错, 写个程序帮我们穷举的确很棒, 充分发挥了计算机的作用.
但这里, 我介绍给大家另外一种巧妙的方法 ---- 扩展欧几里德变换:
123 = 1*123+ 0*11
11 = 0*123+ 1*11 |11
2 = 1*123+ (-11)*11 |5
1 = (-5)*123+ 56*11
聪明的你, 一定看出来了吧. 对! 我们将123和11都表示成 x * 123 + y * 11 的 格式, 然后相减, 在最右侧一栏写上每次减去的被减数的倍数. 依次进行, 知道减数变为1为止. 然后我们取第三列的最下面的一个数, 再对123 取模 即得11 对123的模逆.
对于这个变换, 不清楚的朋友,我劝你们最好动笔画几下. 那样比我在这里说的起作用的多.嘿嘿~~
这个算法的好处:
我们编写这个算法的程序去求任何模逆都是非常高效的, 它帮我们以及CPU都节省了不少时间.
为了加深理解, 来看一个例子:
[例子] :求 1211对13211的模逆 .
13211 1 0 //这一行的1和0是固定的.
1211 0 1 |10 //这一行0和1也是固定的, 后面的10是13211减掉的1211的倍数.意思为减掉10个1211.
1101 1 -10 |1 //第一个1为上一行的第二个1抄下来;-10 = 0 - 1*10 (上一行的算这一行的);后面的1依然为减掉的倍数.
110 -10 11 |10 //-10 为带抄下来, 11 = 1 - (-10) *1 , 10 为倍数.
1 -120 //很快就到1了, 这时的 -120 就是我们要的.
-120 % 13211= 13091 即为 1211 对13211 的模逆. 怎么样? 不错吧. 呵呵.
以上为引用http://hi.baidu.com/%B6%E0%D3%C3%B6%E0%D1%A7/blog/item/536d47cade0b83f453664ff6.html
仿射密码：
加密函数是e(x) = ax + b(mod m)；
解码函数是d(x) = a − 1(x − b)(mod m)，其中a - 1是a对m的模逆。
例子：明文："cryptography".key(5,7);5对7的模逆为21;密文："roxezyloheqx",a~z映射为0~25.
代码
#include<iostream>
using namespace std;
int a,b,c;
void encode(char *seq,char *out){
int i=0;
int temp;
char res;
while(seq[i]){
temp=seq[i]-'a';
temp=(temp*a+b)%c;
res=(char)temp+'a';
out[i]=res;
cout<<res;
i++;
}
cout<<endl;
}
void decode(char *seq){
int i=0;
int temp;
char res;
while(seq[i]){
temp=seq[i]-'a';
temp=(a*(temp-b))%c;
if(temp<0)
temp+=26;
res=(char)temp+'a';
cout<<res;
i++;
}
cout<<endl;
}
//求a对b的模逆
int mo(int a,int b){
int x=0,y=1,temp=y;
int count,q;
int res=b;
while(a!=1&&b!=1){
count=b/a;
q=b%a;
b=a;
a=q;
y=x-y*count;
x=temp;
temp=y;
}
y=y%res;
if(y<0)
res+=y;
else
res=y;
return res;
}
//参考
int Moni(int a,int n)
{
int p=a,q=n, t;
int x = 0, y = 1, z = (int)q/p;
while(1 != p && 1 != q)
{
t = p;
p = q % p;
q = t;
t = y;
y = x - y*z;
x = t;
z = (int) q/p;
}
y = y%n;
if (y<0)
{
y += n;
}
return y;
}
int main(){
char input[30];
char output[30];
memset(input,0,sizeof(input));
memset(output,0,sizeof(output));
cin>>a>>b>>c;
cin>>input;
encode(input,output);
a=mo(a,c);
// a=Moni(a,c);
decode(output);
return 0;
}