题意
现在有好多人在坐标轴上跑步,没有固定的起点,每个人可以随机出现在坐标轴上,他们移动的方式是固定的,给出 n 个时间和坐标的对应,表示在这个时间,这个位置最少有 1 个人,问现在跑步的最少有多少个人。
思路
比赛的时候一想哪些人可能是同一个人?x + t 或者x - t 相同的地方,有可能是同一个人。
我们把 x + t 相同的放在一起,x - t 相同的放在一起。
这时就是选择数量最小的 x - t , x + t ,覆盖所有的点,然后就懵了。。。
做这题总有一种熟悉的感觉,但就是不知道哪熟悉。
按照我的思路这就类似于最小集合覆盖问题,唯一的区别是一个点被两个集合覆盖。
正解是二分图。
参考博客2020杭电多校第四场 1007 Go Running Dinic最大流跑二分图匹配
今天看了看博客,又重新看了点覆盖的定义。
点覆盖,在图论中点覆盖的概念定义如下:对于图G=(V,E)中的一个点覆盖是一个集合S⊆V使得每一条边至少有一个端点在S中。
现在我们选择最少的 x - t 和 x + t ,使得 n 个点都和它们有关系,就是最小点覆盖,每个点的 x - t 和 x + t 一定要存在一个,x - t 和 x + t 相连建好边之后,形成的最小点覆盖,就满足条件。
H-K算法 代码
#include <bits/stdc++.h>
#define fuck system("pause")
#define emplace_back push_back
#define pb push_back
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const double eps = 1e-6;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int N = 2e5 + 10;
int boy[N], girl[N], disx[N], disy[N], used[N];
vector<int> xiao[N], vec1,vec2;
int getid1(int x){
return lower_bound(vec1.begin(), vec1.end(), x) - vec1.begin() + 1;
}
int getid2(int x){
return lower_bound(vec2.begin(), vec2.end(), x) - vec2.begin() + 1;
}
struct node{
int t, pos;
} arr[N];
int n, m, dis;
bool search()
{
for (int i = 1;i<=n;i++){
disx[i] = disy[i] = -1;
}
queue<int> q;
dis = inf;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
if (boy[i] == -1) {
q.push(i);
disx[i] = 0;
}
}
while (!q.empty()) {
int u = q.front();
q.pop();
if (disx[u] > dis)
continue;
for (int i = 0; i < xiao[u].size(); i++)
{
int v = xiao[u][i];
if (disy[v] == -1)
{
disy[v] = disx[u] + 1;
if (girl[v] == -1)
dis = disy[v];
else {
disx[girl[v]] = disy[v] + 1;
q.push(girl[v]);
}
}
}
}
return dis != inf;
}
int find(int x)
{
for (int i = 0; i < xiao[x].size(); i++) {
int v = xiao[x][i];
if (used[v] == 0 && disy[v] == disx[x] + 1)
{
used[v] = 1;
if (girl[v] != -1 && disy[v] == dis)
continue;
if (girl[v] == -1 || find(girl[v]))
{
girl[v] = x;
boy[x] = v;
return 1;
}
}
}
return 0;
}
int match()
{
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n;i++){
boy[i] = girl[i] = -1;
}
while (search())
{
for (int i = 1;i<=n;i++)
used[i] = 0;
for (int i = 1; i <= m; i++)
{
if (boy[i] == -1)
ans += find(i);
}
}
return ans;
}
int main()
{
// freopen("D:\G.in","r",stdin);
// freopen("D:\my.out","w",stdout);
int T;
scanf("%d", &T);
while(T--){
vec1.clear(), vec2.clear();
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n;i++){
xiao[i].clear();
scanf("%d%d", &arr[i].pos, &arr[i].t);
vec1.pb(arr[i].pos - arr[i].t);
vec2.pb(arr[i].pos + arr[i].t);
}
sort(vec1.begin(), vec1.end()), sort(vec2.begin(), vec2.end());
vec1.erase(unique(vec1.begin(), vec1.end()), vec1.end());
vec2.erase(unique(vec2.begin(), vec2.end()), vec2.end());
m = n;
for (int i = 1; i <= n;i++){
int x = getid1(arr[i].pos - arr[i].t);
int y = getid2(arr[i].pos + arr[i].t);
xiao[x].pb(y);
}
int ans = match();
printf("%d
", ans);
}
// fuck;
return 0;
}