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  • Fence9

    题目大意:

    求点(0,0),(n,m),(p,0)三点构成的三角形内部(不包括边界)整点的个数。

    解题过程:
    1.直接枚举纵坐标,然后算出两条直线上纵坐标为y的点的横坐标,然后他们中间的点就是符合要求的。边界处理超级恶心。要特判直线没有斜率的情况,n=0或者p=n的情况。搞了好几次才AC。

    2.nocow上的题解:

    皮克定理说明了顶点是整点的多边形面积S和内部格点数目a、边上格点数目b的关系:S = a + b/2 - 1。根据三角形面积公式求出S。如果知道了b,那么三角形内部格点数目a也就求出来了。可以证明,一条直线((0,0),(n,m))上的格点数等于n与m的最大公约数+1。

    即b=gcd(n,m)+1. gcd(n,m)为n与m的最大公约数。

    代入皮克公式,即可求出a的值;

    还有如何求出直线(p,0)(n,m)上的整点的个数呢。。首先把它对称一下是不会影响答案的,那么如果斜率是负,就对称一下,如何向左平移p个单位,就变成了“一条直线((0,0),(n,m))上的格点数等于n与m的最大公约数+1。”

    关于皮克定理的证明。百度百科上有。

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