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  • 数论出题组比赛用题:数列

    T3:数列

    思考难度:提高?

    代码难度:提高?

    算法0:暴力

    实际得分:0

    算法1:

    考虑x=y=1x=y=1的情况,显然有an=an1+an2a_n=a_{n-1}+a_{n-2}(废话),故

    an×an+1a_n imes a_{n+1}

    =an×(an+an1)=a_n imes (a_n+a_{n-1})

    =an2+an1×an=a_n^2+a_{n-1} imes a_n

    =an2+an12+an2×an1=a_n^2+a_{n-1}^2+a_{n-2} imes a_{n-1}

    =...+a22+a1×a2=...+a_2^2+a_1 imes a_2

    =...+a22+a12+a1×(a2a1)=...+a_2^2+a_1^2+a_1 imes (a_2-a_1)

    ans=an×an+1a1×(a2a1)ans=a_n imes a_{n+1}-a_1 imes (a_2-a_1)

    实际得分:20分

    算法2:

    注意到

    an2=(x×an1+y×an2)2a_n^2=(x imes a_{n-1}+y imes a_{n-2})^2

    =x2×an12+y2×an22+2xy×an1×an2=x^2 imes a_{n-1}^2+y^2 imes a_{n-2}^2+2xy imes a_{n-1} imes a_{n-2}

    =x2×an12+y2×an22+2xy×an2×(x×an2+y×an3)=x^2 imes a_{n-1}^2+y^2 imes a_{n-2}^2+2xy imes a_{n-2} imes (x imes a_{n-2}+y imes a_{n-3})

    =x2×an12+y2×an22+2xy×(x×an22+y×an2×an3)=x^2 imes a_{n-1}^2+y^2 imes a_{n-2}^2+2xy imes (x imes a_{n-2}^2+y imes a_{n-2} imes a_{n-3})

    an2a_n^2可以由an12,an22,an1×an2a_{n-1}^2,a_{n-2}^2,a_{n-1} imes a_{n-2}转移过来,而an1×an2a_{n-1} imes a_{n-2}可以由an12,an2×an3a_{n-1}^2,a_{n-2} imes a_{n-3}转移过来。

    矩阵加速即可。

    实际得分:100

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