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偏序集：We define a Partially Ordered Set, or a Poset, as a set P with a partial ordering defined on it’s elements. I.e, for any two elements x and y of P, either x ≤ y, y ≤ x (x and y are comparable), or x || y (x and y are incomparable).
链（chain）是一个偏序集S的全序子集（所谓全序是指任意两个元素可比较）
反链（antichain）是一个偏序集S的子集，其中任意两个元素不可比较
极大（maximal）链:对一个链C，如果找不到另一个链C'，使得C是C'的真子集，那么称链C是极大的
极大（maximal）反链：对一个反链A，如果找不到另一个反链A'，使得A是A'的真子集，那么称反链A是极大的
最大链（maximum/longest）：链C包含元素个数不少于任意其他链C'，则C是最大链
最大反链（maximum/largest）：类似最大链定义
（易见，最大链必然是极大链，最大反链必然是极大反链，可以用反证法）
偏序集S的最大链的大小称为偏序集S的高度（height）
偏序集S的最大反链的大小称为偏序集S的宽度（width）
Proposition 1. A maximal chain in a finite nonempty poset（偏序集,
partially ordered
set） must contain a maximal element of
S (and a minimal element).
（所谓maximal element，是指：如果对x，不存在元素y使得x≤y，则x是maximal element）
（此处≤表示偏序关系，不是“小于或等于”，下同）
证明：考虑这个最大链的maximal element x，如果x是S中的maximal element，已经得证；若否，则存在S中元素z，使得z≤x
，由偏序关系的传递性，链中的每个元素都≤z，于是将z加入链将得到一个更大的链，矛盾。同理可证， 最大链也包含S的一个minimal element
Proposition 2. The set of maximal elements of a finite poset S is a maximal antichain; likewise,
the set of minimal elements of a nite poset S is a maximal antichain.
证明：（仅针对maximal，minimal类似）首先极大元素组成的集合（记为M）是个反链，因为任取两个元素x, y，x≤y不成立，否则x不是maximal；y≤x同样不成立，因此x和y不可比较，所以M中任意两个元素都不可比较，是反链。
然后证明它是极大的。考虑剩下元素（S-M）中任意一个z，我们要证明如果把z添加到M中，将破坏反链的性质。首先z不是极大的，因为极大元素都在M中，所以存在z2使得z≤z2，如果z2是极大的，则加入z将使得M中的z和z2可比较；如果z2不是极大的，可以继续找z3，使得z2≤z3……，直到找到zk是极大的，根据传递性，z≤zk，加入z将使得M中的z和zk可比较。因此剩下元素中的每一个都不能加到M中，所以M是极大反链。
Proposition 3. Suppose P is partitioned into a finite set of chains C1, C2 ... Cn. If A is an
antichain, then there is at most one element of A in each Ci; thus n >= |A|.
证明：很显然，如果A中有两个元素属于某个Ci，那么Ci就违反了链的性质——任意两个元素可比较
既然如此，n >= |A|也是很自然的
这个证明比较复杂，第一句是证明存在性，比较难；后面还是相对容易的，每个Ci都恰好包含1个A中的元素，而且不可能有一种划分，使得链的个数小于n（否则就会有某个链至少含有2个A中的元素，那就不是链了）
Corollary 1. If |S| > mn, then S has either height of at least m + 1 or width of at least n + 1.
证明：假设S最长链大小为u，最大反链大小为v，根据Dilworth定理，S可以划分为v个链，C1, ..., Cv，|Ci|<=u且
|C1|+|C2|+...+|Cv|=|S|
反证：如果高度<=m且宽带<=n，即u<=m, v <= n,则|S|=|C1|+|C2|+...+|Cv|<=u*v = m*n，矛盾
