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  • 关于独立集,覆盖集,支配集与匹配的一些定理及部分简单证明(上)

    最近在看这一部分的内容,想把定理及自己想的一些证明都整理一下,欢迎指正和补充~~(G为无向图)

     

    ① 若G中无孤立顶点,则存在一个支配集V1,使得G中除V1外的所有顶点也组成一个支配集。      (从某顶点开始,将它标为1,与它相邻的标为2,与2相邻的标为1,标过的不用再标,直到标完,则集合1与集合2满足这一性质)

     

    ② 若G中无孤立顶点,V1为极小点支配集,则G中除V1外的顶点集合V2也组成一个支配集。           (对于V1中任意顶点,只有两种情况,与V2邻接和不与V2邻接,假设都邻接,那么V2是支配集,得证,假设某顶点x不与V2邻接,则对于V1,若去掉点x,它仍是支配集,与它是极小的矛盾,得证)

     

    ③一个独立集是极大独立集当且仅当它是一个支配集。        (先从左到右,一个极大独立集V1,由定义,若再添加顶点,则不独立,即与V1中的点邻接,满足支配集定义,得证;从右到左,一个独立集V1是支配集,则对于任何不属于V1的顶点,都与V1中顶点邻接,所以是极大的。)

     

    ④ 若无向图G中无孤立顶点,则G的极大点独立集都是G的极小支配集,逆命题不一定成立。         (由③,该极大点独立集V1是支配集,假设不是极小的支配集,则可以去掉V1中的某顶点x使V1仍为支配集,则说明x与(V1-x)邻接,与它是个独立集矛盾,得证)

    ⑤  若G中无孤立顶点,则V1是G的点覆盖当且仅当V2=(G-V1)是G的点独立集。   (从左到右,若V1是点覆盖,则G中的边要么是两端点都属于V1,要么是一个属于V1,一个属于V2,不存在两个端点都属于V2的情况,所以V2是一个点独立集;从右到左,V2是点独立,所以不存在两个端点都属于V2的情况,所以V1是点覆盖)

          推论:若G是n阶无孤立顶点的图,则V1是G的极小(最小)点覆盖集,当且仅当V2=(G-V1)是G的极大(最大)点独立集,从而有  点覆盖数+点独立数=n。(由⑤可知,只需证明极小极大即可,从左到右,因为V1是极小的点覆盖,则对于V1中的任意点x,若将它去掉,添加到V2中,则V1不是点覆盖,即存在某条边,两端点都属于新V2,所以V2是极大点独立集,因为不能再往里添加了,从右到左,V2是极大点独立集,则对于V1中的任意点x,若将它去掉,添加到V2中,V2不独立,即存在两端点都属于新V2,此时的新V1则不是点覆盖,即原来的V1是极小的。)

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  • 原文地址:https://www.cnblogs.com/vermouth/p/3710207.html
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