动态规划--lgP1004 方格取数，P1006 传纸条

1.方格取数：找到两条路线使得获得的总价值最大

定义状态:f[i][j][l][k]表示第一个路线走到（i,j），第二个路线走到(l,k)的最大价值

状态转移：和数字三角形一样f[i][j][l][k]=max(max(f[i][j-1][l][k-1],f[i-1][j][l][k-1]),max(f[i][j-1][l-1][k],f[i-1][j][l-1][k]))+a[i][j]+a[l][k];

但是题目规定取完的数会变成0，所以当（i,j）和(l,k)是同一个位置时要减去一个a[i][j]

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int x,y,w,n;
const int maxn=10;
int a[maxn][maxn],f[maxn][maxn][maxn][maxn];
int main(){
    scanf ("%d",&n);
    while (scanf ("%d%d%d",&x,&y,&w)&&x!=0&&y!=0&&w!=0){
        a[x][y]=w;
    }
    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int j = 1;j <= n;j++){
            for (int l = 1;l <= n;l++){
                for (int k = 0;k <= n;k++){
                    f[i][j][l][k]=max(max(f[i][j-1][l][k-1],f[i-1][j][l][k-1]),max(f[i][j-1][l-1][k],f[i-1][j][l-1][k]))+a[i][j]+a[l][k];
                    if (i==l&&j==k) f[i][j][l][k]-=a[i][j];
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[n][n][n][n]<<endl;
}

2.传纸条

和上一道题一毛一样嗷，惟一的区别是，上一道题去过的数还是可以走，只是没贡献，但是这一道题是取过的就不能走了，但是本质是相同的，那就在这里证明一下。

动态规划都知道是从一个状态转移到另一个状态，如果现在（i,j）和（l,k）是同一个位置，那么一个的贡献为0，当前位置f[i][j][l][k]=f[i-1][j][l-1][k]|f[i-1][j][l][k-1]|f[i][j-1][l][k-1]|f[i][j-1][l-1][k];如果换个方向走，且这个方向没走过，那么就f[i][j][l][k]=f[i-1][j][l-1][k]|f[i-1][j][l][k-1]|f[i][j-1][l][k-1]|f[i][j-1][l-1][k]加上一个数一定>本身，max自动忽略另一个贡献为0的方案。如果另一个方向贡献还为0，我们在跳回上上一个点，如果他往(i,j)这个方向走，那么贡献一定为0，所以需要往另一个方向走才能加贡献，如果还是为0，继续向上走，总会有一个方向的贡献不为0.所以每次我们在取max的时候，会自动忽略已经走过的路线。

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
int x,y,w,n,m,mark,x1,x2,y1,y2;
const int maxn=55;
int a[maxn][maxn],f[maxn][maxn][maxn][maxn];
int main(){
    scanf ("%d%d",&n,&m);
    for (int i = 1;i <= n;i++){
        for (int j = 1;j <= m;j++){
            scanf ("%d",&a[i][j]);
            if (a[i][j]==0&&mark==0) {x1=i,y1=j;mark++;}
            if (a[i][j]==0&&mark!=0) x2=i,y2=j; 
        }
    }
    for (int i = x1;i <= x2;i++){
        for (int j = y1;j <= y2;j++){
            for (int l = x1;l <= x2;l++){
                for (int k = y1;k <= y2;k++){
                    f[i][j][l][k]=max(max(f[i][j-1][l][k-1],f[i-1][j][l][k-1]),max(f[i][j-1][l-1][k],f[i-1][j][l-1][k]))+a[i][j]+a[l][k];
                    if (i==l&&j==k) f[i][j][l][k]-=a[i][j];
                }
            }
        }
    }
    cout<<f[x2][y2][x2][y2]<<endl;
}